DISTRIBUSI PROBABILITAS

BAB IV

1.    Perbedaan variabel diskrit dengan variabel kontinu

a.     Variabel diskrit

Pada variable diskrit setiap harga variabel terdapat nilai peluangnya, serta peluang diskrit terbentuk bilamana jumlah semua peluang sama dengan satu. Ini dikatakan wajar karena setiap peristiwa pasti memiliki nilai penjumlahan peluang sama dengan satu dari setiap kejadian yang mungkin terjadi.

Variabel diskrit merupakan variable yang nilainya dapat diperoleh dengan cara membilang ataupun menghitung. Variable dari sampel yang diambil dari populasi ini bertujuan untuk mempermudah pemahaman teori sampel dan pembahasan hipotesis pada pengujian selanjutnya

Variabel diskrit X menentukan distribusi peluang apabila untuk nilai X= x₁,x₂,x₃,…..,x_n terdapat peluang p(x_i) = P(X=x_i) ditulis  

Ekspektasi sebuah variable acak ditentukan oleh beberapa criteria, yaitu kita dapat menentukan sebuah variable acak jika ada ekspektasinya. Rumus untuk mencari ekspektasi atau nilai harap dari variable acak adalah sebagai berikut ;

 

                     = ekspektasi untuk variabel acak X dan penjumlahan dilakukan untuk semua harga X yang mungkin serta merupakan rata-rata untuk variabel X

Contoh.

            Pengamatan yang dilakukan oleh seorang siswa memperlihatkan banyak kendaraan yang melewati sekolahnya tiap menit mengikuti distribusi peluang adalah sebagai berikut;

Banyak kendaraan	0	1	2	3	4	5	6	7
Peluang	0,01	0,07	0,12	0,21	0,11	0,19	0,24	0,05

Dengan menggunakan rumus

            Diperoleh bahwa rata-rata tiap menit terdapat kendaraan yang melalui sekolahnya adalah sebanyak;

            (0)(0,01)+(1)(0,07)+(2)(0,12)+(3)(0,21)+(4)(0,11)+(5)(0,19)+(6)(0,24)+(7)(0,05)= (0)+(0,07)+(0,24)+(0,63)+(0,44)+(0,95)+(1,44)+(0,35)= 4,12

            Atau dapat dikatakan bahwa terdapat 412 kendaraan yang lewat didepan sekolahnya setiap 100 menit.

b.    Variable kontinu

Variabel kontinu merupakan kebbalikan dari variable acak diskrit, jika pada variable acak diskrit nilainya didapat dari atau diperoleh dengan cara menghitung atau membilang, pada Variabel acak kontinu nilainya diperoleh dari atau diperoleh dengan cara mengukur.

Variabel kontinu biasanya digunakan untuk menyatakan ukuran sebuah waktu dan hasil pengukuran. Jika X merupakan nilai dari variable acak maka Variabel acak dikatakan sebagi variable acak kontinu jika memiliki batas -~ < X < ~ dan memiliki batas-batas lain yang ditentukan. Serta x merupakan nilai dari variable kontinu, maka kita akan mempunyai fungsi identitas f(x) yang dapat menghasilkan nilai-nilai peluang dari harga-harga x.

•      Jika X sebuah variabel kontinu, maka kita mempunyai fungsi identitas f(x) yang dapat menghasilkan peluang untuk harga-harga x.

 

•      Untuk menentukan peluang X=x antara a dan b misalnya, maka dapat digunakan rumus

 

•      Ekspektasi untukVariabel kontinu X ditentukanoleh;

CONTOH.

Masa pakai sebuah alat yang digunakan di laboratorium dinyatakan dengan X dan

dilukiskan oleh fungsi                                        dalam bulan dan e=2,7183.

Tentukan peluang sebuah alat demikian yang dapat dipakai selama

1. Antara 3dan 3 ½ bulan,
2. Lebih dari 3 bulan,
3. Rata-rata masa pakainya.

SOLUSI

a.        

 

Maka

Peluang masa pakai alat antara 3 sampai 3 ½  adalah 0,0493

b.      Lebih dari 3 bulan

dengan menganggap a=3 dan b = ~ 

maka,

 

Maka dapat kita katakan bahwa peluang masa pakai alat lebih dari 3bulan adalah sebesar 0,2231.

c.       Rata-rata masa pakainya

Karena              ,      maka  

Maka rata-rata masa pakai alat itu adalah 2 bulan

2.    Distribusi probabilitas gelaja diskrit

Distribusi probabilitas dari variabel diskrit (variabel yang cara memperolehnya dengan cara menghitung atau membilang)

CONTOH.

Jika dalam keluarga terdapat dua orang anak, apabila peluang kelahiran antara anak wanita dan anak pria adalah sama, maka kemungkinan dari suatu keluarga memiliki dua orang anak adalah:

1.                     Anak pertama wanita, anak kedua juga wanita (WW)

2.                     Anak pertama wanita, tetapi anak kedua pria (WP)

3.                     Anak pertama pria, tetapi anak kedua wanita (PW)

4.                     Anak pertama pria, anak kedua juga pria (PP)

Dengan perbandingan WW : WP : PW : PP = 1:1:1:1, atau dinyatakan dalam bilangan-bilangan probabilitas 0,25 : 0,25 : 0,25 : 0,25. jumlah seluruh probabilitasnya adalah 1

Jika kombinasi WP dan PW disatukan dan diberikan simbul-simbul masing-masing p₁, p₂, p₃ untuk WW, WP dan PW, serta PP, maka perbandingan probabilitasnya akan menjadi:

WW atau 2W   maka P1 = 0,25

WP dan Pw atau 1W1P maka p2 = 0,25 + 0,25

PP atau 2P    maka P3 = 0,25

CONTOH 2.

Jika kita melakukan pelemparan sebuah mata uang logam, maka diperoleh probabilitas p (muka G) = p(muka A) = ½, jika dihitung banyaknya muka G yang nampak, maka muka A = 0 G dan muka G – 1 G jika muka G diberi simbul x, maka muka untuk A dan G masing-masing x = 0 dan x = 1. di dapat notasi baru p(x=0) =1/2 dan p(x=1) =1/2

Jika lemparan yang dilakukan dengan menggunakan dua buah mata uang, maka peristiwa yang terjadi adalah: GG, GA, AG, dan AA. Probabilitas dari kejadian tersebut adalah p(GG) = p(GA) = p(AG) = p(AA) = ¼. Dalam bentuk tabel ditulis sebagai berikut:

Tabel Distribusi Probabilitas Gejala Diskrit

X	P (X)
0	¼
1	½
2	1/4
Jumlah	1

Variabel acak diskrit (X) menentukan distribusi peluang apabila untuk nilai x = x₁, x₂, …,x_n terdapat peluang p(x₁) = p(x=x₁), sehingga:

Variabel acak diskrit (X) menentukan distribusi peluang apabila untuk nilai X = x₁,x₂,x₃,…., x_n terdapat peluang p(x₁) = p(X= x₁), sehingga

Jika ada probabilitasnya, ekspektasinya dapat dirumuskan dengan

   H(X) = ekspektasi variable acak X dan penjumlahan dilakukan untuk semua harga X yang mungkin. H(X) merupakan rata-rata untuk variable acak X.

CONTOH.

Hasil pengamatan menunjukkan bahwa setiap jam frekuensi siswa yang meminjam buku sebuah perpustakaan mengikuti distribusi probabilitas sebagai berikut.

Banyak  siswa	0	1	2	3	4	5	6
Probabilitas	0.02	0,04	0.05	0,08	0,07	0,03	0,01

•         Berapakah probabilitas dalam satu jam paling sedikit ada 4 siswa yang keperpustakaan?

•         Berapakah rata-rata siswa yang datang keperpustakaan tiap jam ?

SOLUSI.

•         Probabilitas dalam satu jam paling sedikit ada 4 siswa yang datang keperpustakaan adalah = 1- 0,26 = 0,74.

•         Rata-rata siswa yang datang keperpustakan tiap jam

= (0)(0,02)+(1)(0,04)+……..+(6)(0,01)=0,71

3.    Perbedaan distribusi binomial, multinomial, hipergeometrik, dan distribusi Poisson

a.    Distribusi Binom

Selanjutnya lakukan percobaan sebanyak N kali secara independen, X diantaranya menghasilkan peristiwa A dan sisanya (N-X)   peristiwa  A ,

sehingga 1- π = P(A).

Maka peluang terjadinya peristiwa A sebanyak X = x kali di antara N adalah  :                              

 dengan x = 0,1,2,3,……, N dan 0< π < 1

Dengan koefisien binom.

 dengan parameter

CONTOH.

Lakukan undian dengan menggunakan 10 buah dadu homogen  sekaligus. Berapa peluang nampaknya mata 6 sebanyak 8 buah?

Kita tahu bahwa π = P (mata 6) = 1/6 dan dalam hal ini N = 10, X = 8, dengan X berarti muka bermata enam yang nampak sebanyak 8 buah  di sebelah atas. Maka:

Maka

b.    Distribusi Multinomial

Distribusi multinomial merupakan perluasan dari distribusi binomial, jika pada distribusi binomial hanya tertekan pada 2 pilihan atau 2 kemungkinan yang mungkin terjadi dari sebuah peristiwa maka pada distribusi multinomial adalah banyak kemungkinan yang mungkin terjadi dari sebuah peristiwa.

Sebuah eksperimen menghasilkan peristiwa-peristiwa E₁^,  E₂^{, ...,} E_k

            dengan peluang π₁ = P(E₁), π₂ = P(E₂),….., π_k = P(E_k),

            dengan π₁ + π₂ + …..+ π_K =1.

            Terhadap eksperimen ini dilakukan percobaan sebanyak N kali. Sehingga peluang akan terdapat x₁  peristiwa E_1, x₂ peristiwa E_2, ……, x_k peristiwa E_k di antara N, ditentukan oleh distribusi multinom yaitu:

Dengan x₁ + x₁ +…..+ x_k  = N dan π₁ + π₂ + …..+ π_K = 1,

sedang 0 < π_i < 1

i = 1, 2, ……,k.   

Ekspektasi terjadinya tiap peristiwa E₁^,  E₂ ^,……., E_k dalam peristiwa multinom, berturut-turut adalah:

            Nπ₁, Nπ₂, ….. Nπ_k

Sedangkan variansnya masing-masing:

            Nπ₁(1- π₁), Nπ₂(1- π₂),….. Nπ_k(1- π_k).

CONTOH.

Sebuah kotak berisi 3 barang yang dihasilkan oleh mesin A, 4 oleh mesin B, dan 5 oleh mesin C. Kecuali dikategorikan berdasarkan mesin, identitas lainnya mengenai barang tersebut sama. Sebuah barang diambil secara acak dari kotak itu, identitas mesinnya dilihat, lalu disimpan kembali ke dalam kotak. Tentukan peluang di antara 6 barang yang diambil dengan jalan demikian didapat 1 dari mesin A, 2 dari mesin B, dan 3 dari mesin C.

    P(1 DARI MESIN A DAN 2 DARI MESIN B DAN 3 DARI MESIN C)

c.     Distribusi Hipergeometrik

            Misalkan ada sebuah populasi berukuran N diantaranya terdapat D buah termasuk kategori tertentu. Dari populasi ini sebuah sampel acak diambil berukuran n. pertanyaan yang timbul ialah: berapa peluang dalam sampel itu terdapat x buah termasuk kategori tertentu itu?

Jawabannya ditentukan oleh distribusi hipergeometrik di bawah ini:

 dengan x = 0, 1, 2, …..n. dan Rata-rata distribusi hipergoemetrik adalah

μ = nD/N

CONTOH.

Kelompok manusia terdiri atas 50 orang dan 3 di antaranya lahir pada tanggal 1 Januari. Secara acak diambil 5 orang. Berapa peluangnya di antara 5 orang tadi:

a)      Tidak terdapat yang lahir tanggal 1 Januari?

SOLUSI

a)      Ambil x = banyak orang di antara n = 5 yang lahir pada tanggal 1 Januari. Maka dengan N = 50, D = 3 memberikan 

 dengan mensubtitusikan besaran-besaran yang terkandung didalamnya pada persamaan tersebut maka akan diperoleh hasil sebagai berikut  

d.    Distribusi Poison

Untuk menentukan  peluang sebuah peristiwa yang dalam area kesempatan tertentu diharapkan terjadinya  sangat jarang. Distribusi poison biasanya sangat jarang digunakan, mengingat peristiwa didalamnya adalah sangat kecil peluangnya untuk terjadi. Misalnya, kemungkinan seorang artis jatuh cinta pada seorang pengemis atau gelandangan, kemungkinan di pasar ada yang menjual seorang anak manusia, dan kejadian-kejadian yang kecil peluang terjadinya.

Parameter yang digunakan pada distribusi poison ini adalah

Variabel acak diskrit dikatakan mempunyai distribudi poisson jika fungsi peluangnya

Berbentuk  dengan Dengan X=0,1,2,3,…

e = sebuah bilangan konstan

  = 2,7183

λ = sebuah bilangan tetap

CONTOH.

Misalkan rata-rata ada 1,4 orang buta huruf untuk setiap 100 orang. Sebuah sampel berukuran 200 telah diambil.

Jika x = banyak banyak buta huruf per 200 orang, maka untuk kita sekarang λ = 2,8. Peluang tidak terdapat buta huruf adalah:   

SOLUSI.

Sedangkan peluang terdapatnya yang buta huruf sama dengan 1- 0,0608 = 0,9392

4.    Distribusi probabilitas gejala kontinu (distribusi normal, distribusi z, distribusi t, distribusi chi kuadrat, distribusi F)

a.    Distribusi normal

Distribusi normal sering disebut distribusi Gauss, ini sesuai dengan nama dari orang yang mempopulerkannya. Distribusi normal merupakan distribusi kontinu yang paling sering digunakan pada statistic.

Jika X merupakan distribusi kantinu dan memiliki harga batas -∞<x<∞ maka dapat dikatakan variable acak kontinu X adalah berdistribusi normal.

Jika variabel acak kontinu X mempunyai fungsi densitas pada X=x dengan persamaan:

Dengan :

Л=nilai konstan yang bila ditulis hingga 4 desimal л=3,1416

e=bilangan kostan, bila ditulis hingga 4 desimal e=2,7183

μ=parameter, ternyata meupakan rata-rata untuk distribusi

σ=parameter, merupakan simpangan baku untuk distribusi

Distribusi normal memiliki beberapa sifat, yakni antara lain.

·         grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x

·         bentuknya simetrik terhadap x=μ

·         mempunyai satu modus, jadi kurva unimodal tercapai pada x=μ sebesar

·         grafiknya mendekati (beramstitutkan) sumbu sumbu dasar x dimulai dari x= μ+3σ ke kanan  dan x= μ-3σ ke kiri

·         luas daerah grafik selalu sama dengan  satu unit persegi ( satu satuan luas), ini dikaitkan nilai maksimum peluang adalah 1.

Untuk tiap pasang μ dan σ sifat-sifat selalu dipenuhi adalah sebagai berikut,

·         Bentuk kurva berbeda

·         σ semakin besar maka kurva semakin rendah  (platikurtik)

·         σ semakin kecil maka kurva semakin tinggi (leptokurtik)          

Menenyukan peluang harga x antara a dan b, yakni P(a<X<b)

Maka

b.    Distribusi z

Distribusi z sering disebut distribuusi normal baku. Dengan µ=0 dan Simpangan baku σ=0

            Jika z merupakan nilai dari distribusi acak kontinu, maka jika z memenuhi

 -∞<z<∞ , dan z akan membentuk sebuah fungsi yang akan menentukan peluang dari nilai distribusi normal baku z yaitu

Grafik yang terbentuk jika kita menggunakan distribusi z atau distribusi normal baku adalah seagai berikut,

Ini terlihat sedikit perbedaan jika kita menggunakan distribusi normal umum yakni,

Ini menggunakan rumus

LANGKAH-LANGKAH MENCARI BAGIAN-BAGIAN LUAS DARI DISTRIBUSI NORMAL BAKU

·         Hitung z hingga 2 desimal

·         Gambarkan kurva seperti  Gambar diatas

·         Letakkan harga z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertikal hingga memotong kurva

·         Seluruh luas=0 maka

Kurva simetrik terhadap μ=0

·         Dari z di kolom kiri maju ke kanan dan dari z di baris atas turun ke bawah, maka didapat bilangan yang merupakan luas yang dicaridan ditulis dalam bentuk 4 desimal

·         Dalam daftar, daftar F, lampiran, cari tempat pada z pada kolom paling kiri hanya hingga satu dsimal dan desimal keduanyadicari pada baris paling atas

·         Luas daerah yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis ini dengan garis tegak di titik nol

·         Luas titik garis tegak pada titik nol ke kiri ataupun ke kanan adalah 0,5

CONTOH SOAL

1. Rata-rata hasil ulangan fisika siswa kelas Xi SMA N X Singaraja adalah 64,42 dengan simpangan baku 10,83. jika rata-rata hasil belajar fisika siswa berdistribusi normal maka tentukan:

            Berapa persenkah jumlah siswa yang memiliki nilai  di atas 75?

            Jawab:

            Z=(75-64,42)/10,83=0,98

             

            nilai yang lebih dari 75, pada grafiknya ada di

 sebelah kanan  dengan z= 0,98.

            Luas daerah ini= 0,5 – 0,3365 =0,1635

            Jadi ada 16,35 % yang nilainya di atas 75

Beberapa bagian luas untuk distribusi normal umum dengan rata-rata µdan simpangan bakuσ

Kira-kira 67,27 %dari kasus ada dalam daerah1 simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara µ­σ dan µ+σ

Ada 95,45% dari kasus terletak dalam daerah 2 simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara µ­2σ dan  µ+2σ

Hampir 99,73% dari kasus ada dalam daerah 3 simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara µ-3σ dan µ+3σ

CONTOH 2.

Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3750 gram dengan simpangan baku 3,25. jika berat bayi berdistribusi normal, maka tentukan ada :

1. Berapa persen bayi yang beratnya <4500 gram?
2. Berapa bayi yang berat antara 3500 gram dan 4500 gram, jika ada 10000 bayi?
3. Berapa bayi yang beratnya lebih kecil atau sama dengan 4000 jika ada 10000 bayi?
4. Berapa bayi yang beratnya 4250 jika semuanya ada 5000 bayi?

A) Penyelesaian:

      dengan X = berat bayi dalam gram,

 µ= 3.750 gram, maka:

Dengan transformasi rumus VIII untuk X = 4.500:

luas daerah ini= 0,5-0,4896=0,0104

jadi ada 1,04%dari bayi yang beratnyalebih dari 4.500 gram a)2,31

B. Dengan x= 3.500 dan x=4.5000            

Z=2,31

luas daerah yang perlu=0,2794+0,489 = 0,7690

banyak bayi yang beratnya antara 3.500 gram dan 4.500 gram diperkirakan

2,31antara (0,7690)(10.000)=7.690

C. Beratnya lebih kecil atau sama dengan 4000 gram, maka beratnya harus lebih kecil dari 4000,5 gram

Peluang berat bayi ≤ 4000 gram=0,5+0,2794=0,7794

Banyak bayi =(0,7794)x10000 = 7749

D. Berat 4,250 gram berarti berat antara 4249,5 gram dan 4250,5 gram. Jadi untuk x=4249,5 dan x=4250,5 didapat

Luas daerah yang perlu=0,4382-0,4370= 0,0012

Maka Banyak bayi=  (0,0012)(5000)=6

c.     Distribusi t

Distribusi t atau yang sering dikenal dengan distribusi student merupakan distribusi acak kontinu yang memiliki rumus sebagai berikut,  dan ini berlaku jika harga ‘t’ memenuhi ­∞<t<∞ dan K merupakan bilangan tetap yang besarnya bergantung pada ‘n’.

Bilangan n-1 pada persamaan di penyebut tersebut menyatakan derajat kebebasan pada distribusi tersebut, n-1 berarti distribusi tersebut kehilangan 1 derajat kebebasannya.

•      Mirip grafik distribusi normal baku

•       simetrik terhadap t = 0

•       untuk  harga ‘n’ yang lebih       (n≥30),distribusi ‘t’ mendekati distribusi normal baku.    

•      Merupakan grafik distribusi ‘t’ dengan dk=(n-1). Luas daerah yang diarsir = p dan dibatasi paling kanan oleh tp, dimana nilai tp ini akan dicari menggunakan daftar pasangan v dan p yang diberikan. V dalam hal ini adalah pengganti dk.

d.    Distribusi Chi kuadrat

Distribusi Chi kuadrat atau yang sering disebut distribusi chi square merupakan distribusi acak kontinu yang memiliki persamaan dan cirri seperti berikut.

Dengan U =  X²

Harga u>0

V= drajat kebebasan

K=bilangan tetap yang      bergantung pada v

Luas daerah di bawah kurva sama dengan satu satuan luas e=2,7183

Bentuk grafik distribusi chi square

 merupakan kurva distribusi chi-square dengan derajat kebebasan =v

Merupakan kurva positif, yaitu miring ke kanan. Jika derajat kebebasan ‘v’ makin besar, maka kemiringan kurva makin berkurang.

Daftar H berisikan harga-harga X²  untuk pasangan dk dan peluang p yang besarnya tertentu. Peluang p terdapat pada baris paling atas dan dk (v ) ada pada kolom paling kiri.

Luas daerah arsir sama dengan peluang p, yaitu luas dari X_p²  ke sebelah kiri.

Contoh penggunaan distribusi chi-square

Gambar dibawah adalah grafik distribusi χ² dengan derajat kebebasan 9  

Apa bila luas daerah di sebelah kanan sama dengan 0,05 maka Χ²  = 16,9. ini diperoleh dari dk = 9 dan 0,95

Dan Apa bila luas daerah di sebelah kiri sama dengan 0,025 maka Χ²  = 27,0. ini diperoleh dari dk = 9 dan 0,025

Ini didapatkan dengan cara melihat atau bantuan dari daftar h.

e.     Distribusi F

Distribusi F merupakan distribusi acak kontinu yang memiliki persamaan seperti berikut

F>0, K= bilangan tetap yang harganya bergantung pada v₁ dan v₂ V₂= dk penyebut

Dari persamaaan diatas jelas kita lihat bahwa distribusi F kehilangan 2 derajat kebebasannya, maka distribusi F dapat kita katakana memiliki dk = 2

Untuk tiap pasang dk, v_1, v_2, Daftar berisikan harga F dengan kedua luas daerah (0,010 atau (0,05)

Untuk tiap dk=v_2, daftar terdiri atas 2 baris, yang atas untuk peluang p=0,05 dan yang bawah untuk p=0,01

CONTOH

Untuk pasangan derajat kebebasan v₁₌ 24 dan v₂₌ 8, ditulis juga (v1,v2)=(24,8) maka untuk p=0,05 didapat F=3,12 sedangkan p=0,01 didapat F=5,28

Ini didapat dengan jalan mencari 24 pada baris atas dan 8 pada kolom kiri. Jika dari 24 turun dan dari 8 ke kanan, maka didapat bilangan tsb. Yang ata untuk p=0,05 dan yang bawahnya untuk p=0,01

Notasi lengkap untuk nilai F dari daftar distribusi F dengan peluang p dan dk= (v1,v2) adalah F_p(v1,v2)

Sehingga kita dapatkan

F_0,05(24,8) = 3,12 dan F_0,01(24,8)=5,28

Perhatikan antara p dan (1-p) dan pertukaran antara derajat kebebasan (v1,v2) menjadi (v2,v1) 

Contoh:

Telah didapat F_0,05(24,8)=3,12

Maka   F_0,05(24,8)=

Contoh menentukan distribusi F

Misalnya untuk pasangan derajat kebebasan v₁ = 24  v₂ = 8

ditulis (v₁v₂) = (24,8) maka untuk p = 0,05 diperoleh F = 3,12.

Untuk p = 0,01 diperoleh F = 3,12. Hasil F diperoleh berdasarkan daftar I 

Meskipun daftar yang diberikan hanya untuk peluang p = 0,01

Dan p = 0,05, namun sebenarnya masih bisa diperoleh nilai-nilai F dengan peluang 0,99 dan 0,95 yaitu dengan hubungan: