skala pengukuran

BAB II

SKALA PENGUKURAN

2.1    SKALA PENGUKURAN

Sebelum kita membahas skala pengukuran, ada baiknya kita mengetahui definisi pengukuran. Pengukuran merupakan penggunaan aturan untuk menetapkan bilangan pada obyek atau peristiwa. Dengan kata lain, pengukuran memberikan nilai-nilai variabel dengan notasi bilangan. Setelah kita mengetahui apa itu pengukuran maka sekarang dapat dijeleskan skala pengukuran. Skala pengukuran merupakan aturan-aturan yang diperlukan untuk mengkuatitatifkan data dari pengukuran suatu variabel. Dalam statistik, data merupakan karakteristik, symbol atau angka dari sebuah variabel yang diukur. Pengukuran hanya dilakukan terhadap variabel yang dapat didefinisikan seperti minat, kinerja ataupun sikap. Agar hasil penelitian tidak memberikan interpretasi yang berbeda maka definisi operasional terhadap variabel yang diteliti perlu dijelaskan terlebih dahulu. Dalam melakukan operasi pada statistik perbedaan data dan tujuan dari data yang tersaji tidak bisa dilakukan dalam dalam model skala pengukuran yang sama. Secara umum ada 4 tingkatan skala pengukuran yaitu skala nominal, skala ordinal, skala variabel dan skala rasio.

Berikut merupakan penjelasan lebih terperinci dari keempat tingkatan tersebut.

a)    Skala Nominal

Dalam keempat tingkatan skala pengukuran, skala nominal merupakan tingkatan terendah karena skala ini hanya digunakan untuk membedakan satu objek dengan objek yang lainnya berdasarkan lambang yang diberikan. Sebelum memakai skala nominal biasanya data yang sudah diberi simbol dipisahkan dan dikelompokan berdasarkan jenis atau beberapa kategori pembeda anatara data tersebut. Biasanya lambang yang digunakan adalah suatu gambar yang mencirikan jenis data tersebut, namun terkadang simbol yang diberikan berupa angka atau sebarang bilangan (dengan catatan bilangan yang digunakan hanya digunakan sebagai lambang dari suatu kategori tidak memiliki arti numerik). Hal ini dimagsudkan pada angka atau sembarang bilangan tersebut tidak boleh melakukan operasi aretmetika (tidak boleh menjumlahkaan, mengurangi, mengaklikan, membagi). Bilangan atau sembarang angka dalam hal ini hanya difungsikan sebagai lambang atau simbol saja dengan fungsi untuk membedakan satu data dengan data yang lainnya.

Contoh ; Berikut merupakan data mengenai mahasiswa yang mendapatkan beasiswa di Universitas Pendidikan Ganesha. Mahasiswa yang tidak mendapatkan beasiswa dilambangkan atau diberi simbol berupa angka 0 (nol), sedangkan mahasiswa yang mendapatkan beasiswa diberi simbol angka 1 (satu). Dalam hal ini tidak bisa diartikan mahasiswa yang mendapatkan beasiswa lebih besar tingkatannya daripada mahasiswa yang tidak mendapatkan beasiswa, angka satu dalam hal ini hanyalah menyatakan lambang untuk mahasiswa yang mendapatkan besiswa sedangkan angka nol hanyalah sebagai lambang untuk mahasiswa yang tidak mendapatkan beasiswa.

            Mengenai perincian diatas dapat ditarik kesimpulan bahwa bilangan atau angka yang digunakan sebagai lambang atau simbol  suatu kategori dalam skala nominal hanya berfungsi untuk membedakan data yang satu dengan yang lainya serta dalam penggunaanya tidak berlaku operasi hitung atau aretmetika ( menjumlahkan, mengurangkan, mengalikan, ataupun membagi). Hubungan yang membatasi antara angka atau bilangan yang digunakan sebagai simbol hanyalah sama dengan dan tidak sama dengan.

b)   Skala Ordinal

Satu tingkat diatas skala pengukuran nominal adalah skala pengukuran ordinal. Ini dikarenakan skala pengukuran ordinal masih memiliki ciri pengukuran nominal yaitu membedakan data dalam berbagai kelompok menurut lambang yang diberikan pda populasi atau sempel, namun dalam skala pengukuran ordinal data yang dibedakan menurut lambang tersebut ditambah dengan pembeda yang lain yaitu memililiki pengertian lebih terhadap data yang lain (lebih bagus x lebih jelek, lebih tinggi x lebih rendah dan yang lainnya). Maka dalam skala pengukuran ordinal memungkinkan data untuk diranking.

Contoh; Dalam seri motoGP pembalap Valentino Rossi menduduki posisi terdepan, dan diikuti oleh Cassi Stoner sedangkan diurutan yang ketiga dan keempat masih tetap dipegang oleh Stoner Jambot dan Serul Van Ladret.

Maka dapat diranking yaitu; 1. Valentino Rossi

2. Cassi Stoner

3. Stoner jambot

4. Serul Van Ladret

Hal ini berbeda dengan skala pengukuran nominal, dimana angka hanya difungsikan sebagai lambang. Angka yang dideinisikan di skala ordinal tidak semata-mata hanya untuk sebagai lambang yang difungsikan untuk membedakan satu data dengan data yng lainnya namun juga bisa digunakan untuk mengurutkan data sesuai tingkatannya.

       Maka dapat disimpulkan dalam pengukuran skala ordinal bilangan yang digunakan dapat difunggsikan sebagai;

·         Lambang untuk membedakan antara satu data dengan data yang lainnya

·         Untuk mengurutkan data sesuai tingkatannya berdasarkan kualitas dari data tersebutt dan yang telahh ditentukan baik dari tingkat tinggi ke tempat yang lebih rendah maupun sebaliknya.

Dari data diatas dapat disimpulkan pada tingkat skala pengukuran skala ordinal kita bisa mengatakan suatu data lebih baik, lebih buruk, lebih besar ataupun lebih kecil dari data yang lainna berdasarkan informasi yang diberikan, Namun dalam hal ini kita tidak mengetahui berapakali lebih besarnya ataupun lebih buruknya suatu data dari data yang lainnya.

c)    Skala interval

Dua tingkatan diatas skala nominal atau satu tingkatan diatas skala ordinal adalah skala interval. Skala interval merupakan yang sifatnya hampir mirip dengan skala pengukuran nominal maupun ordinal. Namun dalam skala interval terdapat sifat tambahan yang membedakannya dengan skala nominal dan skala ordinal, yaitu dalam skala interval selain kita dapat membedakan data yang satu dengan yang lainnya dengan menggunakan lambang serta dapat merangkingnya, kita juga dapat mengukur perbedaan atau interval atau jarak antara data yang satu dengan yang lainnya.

Contoh; Pada pengukuran suhu dari 5 buah cairan yang berbeda dilaboratorium yang dilakukan oleh seorang profesor didapatkan hasil sebagai berikut;

Cairan A bersuhu 20^o celcius, cairan B bersuhu 40^o celcius, cairan C bersuhu 55^o celcius, cairan D bersuhu 65^o celcius dan cairan E bersuhu 70^ocelcius.

Dari data diatas dapat kita lihat antara satu data dengan data yang lainnya memiliki interval. Data tersebut selain bisa dibedakan, diranking berdasarkan tingkatannya juga dapat diketahui interval dari masing-masing data. Interval merupakan jarak antara satu data dengan data sebelum dan sesudahnya. Kita bisa lihat interval antara dat D dengan data E memiliki interval 6^o celcius. Namun dalam skala interval tidak bisa kita lakukan suatu perbandingan antara satu data dengan data yang lainnya. Kita tidak bisa mengatakan bahwa suhu cairan benda B yang bersuhu 40^o celcius 2 kali lebih panas daripada suhu cairan benda A yang bersuhu 20^o celcius. Hal ini dikarenakan skal interval tidak memiliki titik nol mutlak. Titik nol mutlak yang dimagsudkan adalah benda yang bersuhu 0^ocelcius bukan berarti tidak memiliki panas (titik nolnya tidak bernilai kosong). Titik nol yang ditetapkan adalah berdasarkan pejanjian.

       Maka dapat disimpulkan bilangan yang digunakan dalam skala interval memiliki 3 fungsi, yakni sebagai berikut;

·         Sebagai lambang yang berfungsi sebagai pembeda antara satu data dengan data yang lainnya.

·         Untuk mengurutkan data sesuai tingkatannya atau meranking suatu data menurut tingkatannya.

·         Untuk mengetahui interval antara satu data dengan data yang lainnya ( jarak antara satu data dengan data yang lainnya)

d)   Skala Rasio

Tiga tingkat diatas skala nominal atau dua tingkat diatas skala ordinal atau satu tingkat diatas skal interval merupakan skala rasio. Skala rasio memiliki ketiga sifat ang dimiliki oleh skala nominal, skala ordinal, skala interval. Selain kita bisa membedakan satu data dengan data yang lainnya karena lambang atau simbol yang diberikan, mengurutkan data berdasakan tingkatannya dan mengetahui interval antara satu data dengan data yang lainnya dalam skala rasio kita juga bisa membandingkan anntara satu data dengan data yang lainnya berdasarkan kuantitatif nilai yang dimiliki oleh data.

Contoh; Dalam suatu keluarga terdapat Ayah, Ibu, Kakak, dan Adik. Ayah memiliki tinggi badan 172 sentimeter sedangan Ibu hanya 165 sentimeter serta tinggi badan kakak dan adik masing-masing adalah 162 sentimetter  dan 86 sentimeter.

Dalam skala rasio kita bisa menyimpulkkan tinggi badan Ayah adalah dua kali lipat dari tinggi badan adik. Berbeda dalam skala interval, pada skala pengukuran rasiao sudah memiliki titik nol mutlak.

       Maka dapat disimpulkan pada skala pengukuran rasio, angka yang berperan didalamnya memiliki fungsi sebagai berikut;

·      Sebagai lambang untuk membedakan antara data satu dengan data yang lainnya.

·      Untuk mengurutkan peringkat, misal, makin besar bilangannya, peringkat makin tinggi atau sebaliknya.

·      Untuk dapat memperlihatkan jarak atau perbedaan antara data yang satu dengan data yang lainya.

·      Rasio (perbandingan) antara satu data dengan data yang lainnya dapat diketahui dan mempunyai arti.

Titik nol yang digunakan dalam skala rasio merupakan suatu titik mutlak (tidak memiliki nilai) atau bukan berdasarkan perjanjian

2.2  PENYAJIAN DATA

Setelah mengumpulkan data baik berasal dari populasi maupun sampel maka kita perlu menyajikan data tersebut dalam bentuk tertentu untuk keperluan laporan dan atau analisis selanjutnya. Penyajian data bertujuan untuk memudahkan pembaca untuk mengerti data-data yang diberikan. Secara garis besar penyajian data dapat dilakaukan dengan dua cara, yakni dengan cara tabel atau daftar dan grafik atau diagram. Berikut merupakan jenis-jenis daftar dan diagram;

a.      Macam-macam atau jenis daftar atau tabel

·         Daftar baris dan kolom

·         Daftar kontingensi

·         Daftar distribusi frekuensi

b.      Macam-macam diagram

·         Diagram batang

·         Diagram garis

·         Diagram lambang atau diagram simbol

·         Diagram lingkaran

·         Diagram peta

A.       Tabel

Penyajian data dengan menggunakan tabel biasanya digunakan untuk menyajikan data yang terdiri atas beberapa pariabel dengan beberapa kategori. Tabel terdiri atas beberapa jenis yakni akan dijelaskan lebih lanjut sepert dibawah ini;

1.    Tabel baris dan kolom

Tabel baris dan kolom atau tabel biasa disajikan berupa judul tabel judul kolom serta judul baris dan badan daftar tanpa penyajian pembantu data lain.

Berikut merupakan bentuk umum suatu tabel.

TABLE’S TITLE

 

F	G	H	I
J	K	L	M

                     

Keterangan;

®    Yang bertuliskan TABLE’S TITLE merupakan judul tabel yang ditulis ditengah-tengah diatas tabel yang ditulis dengan huruf kapital. Judul tabel mendeskripsikan secara singkat tentang apa, macam atau klasifikasi, dimana, kapan, dan bila perlu mencantumkan satuan data yang digunakan.

®    A smpai E merupakan judul kolom

®    F smpai M merupakan judul baris dan badan daftar atau sel.

2.    Kontingensi

Terkadang data yang diberikan atau disusun terdiri atas dua faktor atau dua pariabel. Untuk data yang terdiri dari atas dua faktor atau dua variabel , faktor yang satu terdiri atas b kategori dan yang lainnya terdiri atas k kategori, dapat dibuat daftar kontingensi berukuran b x k dengan b menyatakan garis dan k menyatakan kolom. Kontingensi dapat diartikan sebagai tabel yang menunjukkan atau memuat data sesuai dengan rinciannya.

Berikut merupakan contoh dsri tabel kontingensi;

JUMLAH MAHASISWA SEMESTER II

JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA

2010

Jenis kelamin	Kelas A	Kelas B	Kelas C
Laki-laki	12	15	20
Perempuan	21	23	22
Jumlah	33	38	42

Catatan ; Data karangan

Daftar kontingensi diatas adalah merupakan daftar kontingensi 2 x 3 karena tediri dari 2 baris dan 3 kolom

3.    Tabel Distribusi Frekuensi

Daftar distribusi frekuensi diperoleh dari data kuantitatif yang dan disusun menjadi beberapa kelompok. Penyajian data dengan cara ini baik digunakan untuk data berukuran besar (n ≥ 30) bertujuan untuk mempermudah serta mengefisienkan tempat dan letak pada suatu penulisan.

Berikut merupakan contoh Tabel distribusi frekuensi dalam bentuk data berkelompok.

DAFTAR TINGGI BADAN MAHASISWA JURDIK FISIKA SEMESTER II

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA

2010

Tinggi badan	Banyak mahasisiwa
151-155	6
156-160	29
161-165	32
166-170	48
jumlah	115

Catatan; data karangan

Keterangan ;

§  Data yang ada di baris tinggi badan merupakan interval. Urutan kelas disusun dari yang terkecil hingga yang terbesar.

§  Tinggi badan 151-155 disebut kelas interval pertama begitupun seterusnya.

§  Kolom “banyak mahasiswa” merrupakan frekuensi.

§  Nilai yang berada di sebelah kiri dalam kolom kelas interval (151, 156, 161, 165) disebut ujung bawah, sedangkan nilai yang disebelah kanannya (155, 160, 166, 170) merupakan ujung atas.

§  Selisi positiv ditambah satu antara kedua ujung disebut panjang kelas interval (interval tabel diatas adalah 155-151+1 = 5)

§  Jika ujung bawah dikurangi 0,5 atau 0,05 atau 0,005 tergantung ketelitian atau angka dibelakang koma atau ujung atas ditambahkan dengan nilai yang sama seperti pengurang ujung bawah disebut batas kelas. Jika data yang disajikan seperti diatas maka untuk memperoleh batas bawah ataupun batas atas adalah mengurangi ataupun menjumlahkan baujung atas ataupun ujung bawah dengan 0,5.

Berikut merupakan cara membuat tabel distribusi frekuensi;

1)        Urutkan data dari yang terkecil hingga terbesar.

2)        Hitung rentang (R) yaitu data tertinggi dikurang data terendah.

3)        Hitung banyak kelas dengan aturan dsturges yaitu:

Banyak kelas = 1 + 3,3 log n

n = banyak data, hasil akhirnya dibulatkan.

Banyak kelas paling sedikit 5 kelas dan paling banyak 15 kelas, dipilih menurut keperluannya.

4)        Tentukan panjang kelas interval dengan rumus:

5)        Tentukan ujung bawah kelas interval pertama. Biasanya diambila dari data terkecil atau data yang lebih kecil dari data terkecil tetapi selisihnya harus kurang dari panjang kelas yang telah di dapat.

6)        Selanjutnya interval kelas pertama dihitung dengan cara menjumlahkan ujung bawah kelas dengan p tadi dikurang 1. Demikian seterusnya.

7)        Nilai f dihitung dengan tabel penolong sebagai berikut.

Nilai	Tabulasi	f

8)        Pindahkan nilai f ke tabel distribusi frekuensi.

B.     Grafik

Penyajian data menggunakan grafik merupakan pengembangan dari penyajian data menggunakan tabel. Penyajian data menggunakan grafik haruslah mudah dimengerti oleh pembaca, sebab terkadang pemberian informasi kepada umum hanya disajikan dalam benttuk grafik tanpa adanya tabel sebagai informasi yang mendukung.

Penyajian dalam bentuk grafik adalah suatu penyajian data secara visual. Untuk memahami dan menginterpretasikan data selain dengan menghitung nilai ststiatika deskriptif kadang-kadang lebih mudah dan cepat memahami data tersebut jika disajikan dalam bentuk diagram.

Berikut merupakan jenis jenis grafik;

a.       Grafik Batang atau Histogram

Grafik batang atau diagram batang atau histogram biasanya digunakan pada penyajian data yang memiliki jangka waktu yang berkeelanjutan. Untuk menggambar diagram batang terdahulu kita harus menggambar sumbu datar dan sumbu tegak yang berpotongan tegak lurus. Sumbu datar dibagi menjadi beberapa skela bagian yang sama demikian pula keadaannya pada sumbu tegak. Skala pada sumbu tegak dan skala pada sumbu datar tidaklah harus sama. Jika ingin membuat diagramnya tegak maka sumbu datar kita pakai untuk menyatakan waktu sedangkan sumbu tegak kita pakai untuk menunjukan keterangan nilai.

Contoh; Dari tabel dibawah ini buatlah grafik batanganya.

DATA BANYAK MURID TIAP KELAS

MAHASISWA JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA SEMESTER II

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGATAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA

2010

KELAS	LAKI-LAKI	PEREMPUAN	JUMLAH
A	12	24	36
B	16	22	38
C	19	24	43
JUMLAH	47	70	117

Catatan ; data karangan

Bentuk diagram batang dari data tabel diatas adalah;

Catatan ; data karangan

Adapun langkah-langkah pembuatan grafik diatas adalah;

a)        Membuat sumbu absis dan ordinat

b)        Absis kita beri nama nilai dan ordinat dengan nama frekuensi (f)

c)        Membuat skala pada absis dan ordinat. Perskalaan pada absis tidak perlu sama dengan ordinat. Ini disesuaikan dengan kebutuhan kita. Yang penting adalah skala pada absis dapat memuat semua nilai (dan oleh karena histogram dibuat atas dasar batas nyata maka skala pada ordinat harus dapat memuat frekuensi tertinggi)

d)       Mendirikan segi empat pada absis. Tinggi masing-masing segi empat harus sesuai dengan frekuensi di tiap-tiap nilai variabelnya. Segi empat-segi empat itu berhimpit satu sama lain pada batas nyatanya.

e)        Pembuatan histogram diselesaikan dengan memberi keterangan selengkapnya tentang apa maksud histogram yang kita buat.

b.      Grafik Garis

Grafik garis merupakan suatu grafik yang berupa garis lurus yang menghubungkan titik tengah suatu data dengan data yang lainnya. Grafik garis biasanya digunakan untuk menunjukan data yang berkeinambungan, biasa digunakan dalam menunjukan hasil pengeluaran prusahaan tiap tahunnya ataupun yang lain seperti penerimaan mahasiswa baru tiap tahunnya di Universitas Pendidikan Ganesha. Dalam diagram garis waktu biasanya ditempatkan pada sumbu datar (sumbu X)  dan nilai data pada sumbu tegak (sumbu Y) sehingga diperoleh titik-titik koordinat. Jika titik-titik yang berturutan dihubungkan oleh garis lurus, maka akan diperoleh diagram garis.

Contoh ; buatlah diagram garis dari informasi yang diberikan tabel berikut;

DAFTAR MINAT SISWA KELAS III SMA N 1 TEGALLALANG TERHADAP JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA, MATEMATIKA, BIOLOGI DAN KIMIA

DARI TAHUN 2005-2010

TAHUN	FISIKA	KIMIA	MATEMATIKA	BIOLOGI	JUMLAH
2005	20	12	21	11	64
2006	22	11	20	12	65
2007	24	16	24	13	77
2008	27	25	27	15	94
2009	28	21	30	18	97
2010	33	32	31	17	113
JUMLAH	154	117	153	86	510

Catatan ; data karangan

Berikut merupakan diagram garis dari data diatas;

 

Catatan ; data karangan.

c.       Diagram Lingkaran

Diagram lingkaran merupakan suatu diagram yang difungsikan untuk menyajikan data dalam bentuk lingkaran baik menggunakan data absolut maupun relatif. Untuk membuat diagram lingkaran pertama-tama kita harus membuat lingkaran terlebih dahuku lalu dibgi-bagi menjadi beberapa sektor. Tiap sektor melukiskan kategori data yang terlebih dahulu diubah kedalam derajat. Karena sudut yayng dibentuk lingkaran adalah 360 derajat maka persentase per bagian dapat kita cari dengan menggunakan rumus , n merupakan jumlah nilai yang dicantumkan pada sudut tersebut.

Contoh; Buatlah diagram lingkaran dari data berikut

DAFTAR ASAL KOTA MAHASISWA KELAS B SEMESTER II JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGATAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PENDIDIKAN FISIKA

2010

KOTA	FREKUENSI
GIANYAR	12
BULELENG	10
JEMBRANA	9
TABANAN	7
KARANGASEM	6
BANGLI	5
KLUNGKUNG	4
DENPASAR	2
	55

Catatan ; data karangan

Berikut mrupakan diagram lingkaran dari informasi diatas;

Catatan ; Data karangan

d.      Kartogram

Diagram katogram merupsksn diagram yang digunakan dalam pembuatan peta yang menggunakan suatu perbandingan. Dalam pembuatannya digumnbakan peta geografis tempat data terjadi. Dengan demikian ini melukiskan keadaan dihubungkan dengan tempat kejadiannya. Salah satu contohnya adalah pembuatan peta bumi. Contoh lain adalah tentang rata-rata pertumbuhan penduduk di suatu daerah.

2.3  UKURAN KECENDERUNGAN GEJALA MEMUSAT

Dalam data yang disajikan dengan menggunakan table maupun grafik, tidak diberikan gambaran yang lebih lanjut mengenai data yang disajikan. Msks untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas tentang sekumpulan data mengenai suatu data baik mengenai populasi ataupun sempel. Ukuran gejala memusat dijelaskan berupa rata-rata (mean), nilai tengah (median) dan nilsi yang paling sring muncul (modus).

a.       Mean (rata-rata)

Rata-rata hitung untuk data kuantitatif yang terdapat pada sebuah sampel dihitung dengan jalan membagi jumlah nilai data oleh banyak data. Rata-rata untuk sampel disimbulkan dengan  sedangkan rata-rata untuk populasi dipakai simbul µ. Jadi  adalah statistik sedangkan µ adalah parameter untuk menyatakan rata-rata. Adapun persamaannya yaitu:

Untuk data dalam daftar frekuensi, rata-rata hitung dapat dicari dengan persamaan:

Kita juga dapat menentukan rata-rata gabungan yaitu rata-rata dari beberapa sub sampel yang dijadikan satu. Jika k merupakan sub sampel masing-masing keadaan berikut:

sub sampel 1: berukuran n₁ dengan rata-rata

sub sampel 2: berukuran n₂ dengan rata-rata

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sub sampel k: berukuran n_k dengan rata-rata

Maka rata-rata gabungan dari k buah sub sampel dapat dicari dengan persamaan:

Cara untuk menghitung rata-rata dari data dalam daftar distribusi frekuensi dengan cara sandi atau cara singkat yang mana dalam daftar tersebut panjang intervalnya sama besar. Cara tersebut diperoleh dengan persamaan:

Contoh; daftar nilai dari seorang siswa adalah sebagai berikut

Matematika = 9

Fisika = 9

Biologi = 8

Kimia = 8

Sejarah =7

Ppkn = 7

Agama = 8

B.P = 8

Tentukan mean dari data diatas;

Kita ketahui banyak data diatas adalah 8 serta jumlah dari nilai semua data adalah 9+9+8+8+7+7+8+8 = 64

Maka mean dari data diatas adalah

b.      Median (nilai tengah)

Median merupakan nilai tengah suatu data dimana didapat setelah menyusun data tersebut berdasarkan tingkatannya, baik dari ttertinggi ke terendah ataupun sebaliknya. Kalau nilai median sama dengan Me, maka 50% dari data harga-harganya paling tinggi sama dengan Me sedangkan 50% lagi harga-harganya paling rendah sama dengan Me. Jika banyak data ganjil, maka nilai median Me, setelah data disusun menurut nilainya merupakan data paling tengah.

Kita kembali ke contoh pada mean diatas ;

Contoh; daftar nilai dari seorang siswa adalah sebagai berikut

Matematika = 9

Fisika = 9

Biologi = 8

Kimia = 8

Sejarah =7

Ppkn = 7

Agama = 8

B.P = 8

Bahasa Indonesia = 9

Berapakah mediannya..?

Kita dapat menjawabnya dengan cara mengurutkan nilainya terdahulu yaitu berbentuk 7,7,8,8,8,8,9,9,9

Me = n+1/2 = 10/2 = 5

Jadi letak mediannya adalah berada pada urutan ke 5 yaitu 8.

Itu berlaku hanya jika datanya berjumlah ganjil, jika datanya berjumlah genap maka dapat dicari dengan perumusan 1/2(n/2 + n+1/2 ).

Jika datanya fdalam beentuk berkelompok, maka dapat dicari dengan perumusan;

      Keterangan :

b          = batas bawah kelas median, ialah kelas dimana median akan terletak,

p          = panjang kelas median,

n          = ukuran sampel atau banyak data,

F          = jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas median

f           = frekuensi kelas median

c.       Modus (nilai yang paling sering muncul)

Modus (Mo) merupakan ukuran yang dugunakan untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi atau paling banyak muncul. Secara tidak disadari, ukuran ini juga sering digunakan untuk menentukan rata-rata data kualitatif. Misalnya, Kecelakaan lalu lintas yang terjadi sering disebabkan oleh kecerobohan pengemudi dalam berkendara. Dari kalimat diatas, dapat kiata lihat bahwa kecelakaan lalu lintas merupakan modusnya.

Dapat kembali kita lihat pada cotoh diatas, 7,7,8,8,8,8,9,9,9 merupakan nilai dari seoran siswa. Berapakah modusnya ????

Kita lihat nilai 7 muncul 2 kali

Nilai 8 muncul 4 kali

Serta nilai 9 muncul 3 kali

Maka dengan sah kita bisa menyebutkan bahwa 8 merupakan modos dari data diatas.

Jika data kuantitatif yang telah disusun dalam bentuk data berkelompok (daftar distribusi frekuensi), modusnya dapat ditentukan dengan persamaan :

   Keterangan :

b = batas bawah kelas moda, ialah kelas interval dengan frekuensi terbanyak,

p = panjang kelas modal,

b₁            = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih kecil sebelum tanda kelas modal,

b₂            = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih besar sesudah tanda kelas modal.

2.4  UKURAN LETAK

Kuartil

Kuartil merupakan bilangan pembagi yang terdapat dalam sekumpulan data yang membagi data menjadi 4 bagian sama banyak. Ada tiga macam kuartil yaitu kuartil pertama, kuartil kedua, kuartil ketiga, yang mading-masing disingkat dengan K₁, K₂, K₃ yang pemberian namanya dimulai dengan nilai kuartil yang paling kecil. Ada tiga tahapan untuk menentukan nilai kuartil yaitu :

·         susun data menurut urutan nilainya,

·         tentukan letak kuartil,

·         tentukan nilai kuartil

Letak kuartil ke i, diberi lambang K_i yang ditentukan dengan persamaan :

Letak K_i = data ke

Dengan i = 1, 2, 3

Contoh :Berikut merupakan nilai ujian  kalkulus 2 Kelas B mendapatkan nilai sebagai berikut : 75, 73, 65, 78, 77, 85, 95, 92, 87, 56, 90, 80, 70, 60, 88, 80,  95, 68.

Seperti syarat yang telah dikemukaakan tadi maka data harus kita urut dahulu  : 56, 60, 65, 68, 70, 73, 75, 77, 78, 80, 80, 85, 78, 88, 90, 92, 95, 95.

Letak K₁ = data ke = data ke-, yaitu antara data ke-4 dan data ke-5 yang jaraknya ¾ jauh dari data ke-4.

K₁ = 68 + ¾(70-68) = 69½.

Dengan cara yang sama kita juga bisa mencari K₂ dan K₃.

      Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, kuartil K_i ( i = 1, 2, 3) dihitung dengan persamaan :

dengan i = 1, 2, 3

Keterangan :

b    = batas bawah kelas K, ialah kelas interval dimana K_i akan terletak,

p    = panjang kelas K_i,

F    = jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas K_i,

f     = frekuensi kelas K_i.

Contoh : Nilai Ujian Kalkulus 2  untuk 47 orang mahasiswa sebagai berikut:

NILAI UJIAN	fi
61-65 66-70 71-75 76-80 81-85 86-90 91-95 96-100	6 5 5 9 10 3 1 4
Jumlah	44

Untuk menentukan kuartil ketiga K3 kita perlu ¾ x 44 = 33 data, sehingga K3 terletak dalam kelas interval ke-5 dan kelas ini merupakan kelas K3, dan didapat b = 80,5 ; p = 5 ; f = 10 dan F = 25. Jadi,

Desil

Desil merupakan pembagi yang terdapat dalam sekumpulan data yang dibagi menjadi 10 bagian yang sama yang mana didapat sembilan pembagi, sehingga terdapat sembilan jenis desil yang terdiri dari desil pertama, desil kedua, . . . ., desil kesembilan yang masing-masing diberi nama dengan D1, D2, . . . , D9. Desil dapat dicari dengan tiga jalan yaitu ;

1. susun data menurut urutan nilainya,
2. tentukan letak desil,
3. tentukan nilai desil.

Letak desil ke i, diberi lambang Di, dapat dicari dengan rumus ;

Letak Di = data ke

dengan i = 1, 2, . . . ., 9.

      Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi, nilai Di (i = 1, 2, . . . . , 9) dapat dicari dengan persamaan :

 

dengan i = 1, 2, . . . , 9

Keterangan :

b    = batas bawah kelas Di, ialah kelas interval dimana Di akan terletak,

p    = panjang kelas Di,

F    = jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Di,

f     = frekuensi kelas Di.

Persentil

      Persentil merupakan sekumpulan data yang dibagi menjadi 100 bagian yang sama akan menghasilkan 99 pembagi yang berturut-turut, sehingga terdapat 99 persentil yang mana masing-masing dinamakan dengan  persentil pertama, persentil kedua, . . . ., persentil ke-99 yang diberi simbol berturut-turut P₁, P₂, . . . ., P₉₉.

      Letak persentil untuk sekumpulan data ditentukan oleh persamaan :

Letak P_i = data ke

dengan i = 1, 2, . . . , 99.

Contoh :

Sedangkan nilai P_i untuk data dalam daftar distribusi frekuensi dihitung dengan persamaan ;

 

dengan i = 1, 2, . . . ., 99.

Keterangan :

b    = batas bawah kelas P_i, ialah kelas interval dimana P_i terletak,

p    = panjang kelas P_i,

F    = jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas P_i,

f     = frekuensi kelas P_i.

2.5  UKURAN SIMPANGAN DAN VARIASI

1. Rentang, Rentang antar Kuartil, dan Simpangan Kuartil

Rentang merupakan urukarn variasi yang paling mudah ditentukan yang memiliki persamaan sebagai berikut :

rentang = data terbesar – data terkecil

Contoh : Terdapat kumpulan data sebagai berikut : 1, 22, 68, 98, 98, 234, 675

Dari data di atas dapat dilihat bahwa data terbesar adalah 675 dan data terkecil adalah1, sehingga rentangannya menjadi

Rentang        = data terbesar – data terkecil

                     = 675 – 1

                     = 674

Karena sangat mudah untuk menghitungnya, rentang ini banyak sekali digunakan dalam cabang lain dari statistika yakni statistika industri.

Rentang antar kuartil merupakan selisih antara K₃ dan K₁ yang dapat dicari dengan persamaan :

            Keterangan :

            RAK   = rentang antar kuartil,

            K₃        = kuartil ketiga,

            K₁        = kuartil pertama.

Simpangan kuartil atau deviasi kuartil atau disebut juga dengan rentang semi kuartil merupakan harga setengah dari rentang antar kuartil. Simpangan Kuartil (SK) dapat dicari dengan persamaan :

2. Rata-Rata Simpangan

Jika kita mendapatkan data hasil pengamatan berupa  x₁, x₂, . . . , x_n dengan rata-rata . Rata-rata simpangan dari data tersebut dapat dicari, namun harus menentukan jarak antara tiap data dengan rata-rata  yang ditulis dengan | x_i-x |. Jika jarak  | x₁-x |, | x₂-x |, . . . , | x_n-x | dijumlahkan, kemudian dibagi dengan jumlah data (n) maka diperoleh rata-rata simpangan (RS) atau rata-rata deviasi yang dapat dirumuskan dengan :

3. Simpangan Baku

Simpangan baku atau standar deviasi merupakan ukuran simpangan yang paling banyak digunakan. Varians merupakan pangkat dua dari simpangan baku sehingga simpangan baku dilambangkan dengan s, sedangkan varians dilambangkan dengan s². Jika terdapat sampel uang berukuran n dengan data x₁, x₂, . . . , x_n dan rata-rata  maka statistik s² dapat dihitung dengan :

    atau    

Sehingga nilai simpangan baku (s) dapat dicari dengan penarikan akar yang positif dari s²( dikarenakan pada akar dari varians dikasih tanda mutlak).

4. Bilangan Baku dan Koefisien Variasi

Jika kita mendapatkan data hasil pengamatan berupa  x₁, x₂, . . . , x_n dan memiliki rata-rata  serta simpangan baku s, kita dapat membentuk data baru yang berupa z₁, z₂, . . . , z_n dengan persamaan :

 untuk i = 1, 2, . . . . , n.

Bilangan yang didapat berupa bilangan z mempunyai rata-rata = 0 dan simpangan baku = 1. Bilangan yang diperoleh dengan cara mengubah keadaan atau model baru, atau tepatnya distribusi baru yang mempunyai rata-rata ₀ dan  simpangan baku s₀ yang ditentukan disebut dengan bilangan baku atau bilangan standar yang dapat dirumuskan dengan :

2.6  SKEWNESS DAN KURTOSIS

a.    Skewness ( kemiringan )

Skewness merupakan pengukuran ketidaksimetrisan atau kecondongan sebaran data di sekitar rata-ratanya. Skewness dapa didapat melalui persamaan berikut:

Kemiringannya dapat diperoleh dengan dua persamaan berikut:

b.      Kurtosis (keruncingan)

Kurtosis merupakan tinggi rendahnya atau runcing datarnya bentuk suatu kurva yang bertitik tolak dari kurva model normal atau distribusi normal.

Mesokurtik

Leptokurtik

Platikurtik

Salah satu ukuran kurtosis adalah koefisien kurtosis yang diberi simbul a₄, yang ditentukan dengan persamaan :

Kriteria yang didapat dari persamaan di atas adalah :

a. a₄ = 3                       distribusi normal

b. a₄ > 3                       distribusi leptokurtik

c. a₄ < 3                       distribusi platikurtik

            Untuk menyelidiki normal atau tidaknya suatu distribusi sering digunakan koefisien kurtosis persentil (κ) yang dirumuskan sebagai berikut :

Keterangan :

SK       = rentang semi antar kuartil

K₁        = kuartil pertama

K₃        = kuartil ketiga

P₁₀       = persentil kesepuluh

P₉₀       = persentil ke-90

P₉₀ - P₁₀           = rentang 10-90 persentil

Untuk model distribusi normal, nilai κ = 0,263