HAKIKAT MATEMATIKA

HAKIKAT MATEMATIKA

Abstrak

Matematika adalah ilmu universal yang mendasari perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi modern, memajukan daya pikir serta analisa manusia. Matematika memiliki peran yang sangat besar dalam kehidupan. Walaupun memiliki banyak peranan, namun banyak yang belum mengetahui pengertian matematika itu sendiri. Ada banyak pengertian dari matematika itu sendiri. Ada yang berpendapat, matematika adalah cabang ilmu pengetahuan eksak dan terorganisisr secara sistematik, matematika adalah pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasi, matematika adalah pengetahuan tentang penalaran logik dan berhubungan dengan bilangan, dan lain sebagainya. Selain itu, matematika dikenal sebagai ilmu deduktif, ilmu terstruktur dan juga matematika sebagai ratu dan pelayan ilmu. Matematika sebagai ilmu deduktif yaitu dalam matematika, kebenaran dalam setiap pernyataannya harus didasarkan pada kebenaran pernyataan sebelumnya dan dalam matematika pernyataan awal dikenal dengan istilah aksioma. Matematika sebagai ilmu terstruktur yaitu matematika mempelajari tentang pola keteraturan, tentang struktur yang terorganisasikan. Hal ini dimulai dari unsur-unsur yang tidak terdefinisikan kemudian pada unsur yang didefinisikan, ke aksioma/postulat dan akhirnya pada teorema dan yang terakhir matematika sebagai ratu dan pelayan ilmu dimaksudkan bahwa matematika adalah sebagai sumber dari ilmu yang lain. Dengan perkataan lain, perkembangan matematika tak tergantung pada ilmu-ilmu lain.

Kata Kunci : Matematika, Induktif, Terstruktur, Ratu dan Pelayan Ilmu, Ilmu Tentang Pola dan Hubungan, Semesta  Pembicara, Konsisten pada Sistem, Kesepakatan, Simbol Kosong dari Arti

A.       PENDAHULUAN

Dalam filsafat ilmu pengetahuan mempelajari esensi atau hakikat ilmu pengetahuan tertentu secara rasional. Filsafat ilmu pengetahuan merupakan cabang filsafat yang mempelajari teori pembagian ilmu, metode yang digunakan dalam ilmu, tentang dasar kepastian dan jenis keterangan yang berkaitan dengan kebenaran ilmu tertentu. Ilmu pengetahuan merupakan sesuatu yang sangat amat penting bagi seluruh manusia di dunia ini. Ilmu pengetahuan merupakan sesuatu yang sangat tidak pernah habis bila kita pelajari karena ilmu pengetahuan itu sangat luas. Semua orang ingin menggali ilmu pengetahuan setinggi-tingginya untuk menambah wawasan yang dikuasai. Pada zaman seperti sekarang, banyak jalan yang dapat digunakan untuk menambah ilmu pengetahuan selain dengan cara membaca seperti semboyan yang mengatakan “banyak jalan menuju Roma”. Jadi, ilmu pengetahuan sangat penting bagi semua orang untuk masa depan.

Filsafat ilmu pengetahuan merupakan salah satu cabang yang mempersoalkan mengenai masalah hakikat pengetahuan. Yang dimaksud dalam hal ini adalah suatu ilmu pengetahuan kefilsafatan yang secara khusus hendak memperoleh pengetahuan tentang hakikat pengetahuan. Dalam filsafat ilmu dipelajari mengenai ilmu dan matematika sebab, ilmu tanpa matematika  tidak berkembang serta, matematika tanpa ilmu tak ada keteraturan. Dengan pengetahuan manusia dapat mengembangkan mengatasi kelangsungan hidupnya, memikirkan hal-hal yang baru dan menjadikan manusia sebagai makhluk yang khas di muka bumi ini. Begitu erat hubungan matematika dengan ilmu pengetahuan lainnya sehingga terkadang matematika tersebut terdapat di semua bidang ilmu lainnya.

Matematika memiliki peranan penting dalam berbagai aspek kehidupan. Banyak permasalahan dan kegiatan dalam hidup kita yang harus diselesaikan dengan menggunakan ilmu matematika seperti menghitung, mengukur, dan lain-lain. Matematika adalah ilmu universal yang mendasari perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi modern, memajukan daya pikir serta analisa manusia. Peran matematika dewasa ini semakin penting, karena banyaknya informasi yang disampaikan orang dalam bahasa matematika seperti, tabel, grafik, diagram,  persamaan dan lain-lain. Matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran atau medis, ilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Dengan demikian, pendidikan matematika mampu menyiapkan sumber daya manusia (SDM) yang berkualitas yang ditandai memiliki kemampuan memperoleh, mengelola, dan memanfaatkan informasi sesuai dengan tuntutan kebutuhan. Oleh karena itu mata pelajaran matematika sangat perlu diajarkan kepada semua peserta didik mulai dari taman kanak kanak. Namun kebanyakan orang ataupun guru mengajarkan matematika tanpa pernah mengajarkan atau menjelaskan mengenai hakikat matematika itu sendiri. Jadi siswa yang diajarkan juga kurang mengetahui hakikat dari matematika tersebut.

Untuk lebih jelasnya penulis akan mengkaji hakikat matematika tersebut dalam makalah ini yang meliputi pengertian matematika, karakteristik matematika sebagai ilmu deduktif, juga ilmu terstruktur, matematika adalah ratu dan pelayan ilmu, matematika adalah  ilmu tentang pola dan hubungan, matematika memperhatikan semesta  pembicara, matematika konsisten pada sistem, matematika bertumpu pada kesepakatan, matematika memiliki simbol kosong dari arti.

B.           PEMBAHASAN

2.1        Pengertian Matematika

“Apakah matematika itu ?” tidak dapat dengan mudah dijawab. Hal ini dikarenakan sampai saat ini belum ada kepastian mengenai pengertian matematika karena pengetahuan dan pandangan masing-masing dari para ahli yang berbeda-beda. Ada yang mengatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang bilangan dan ruang, matematika merupakan bahasa simbol, matematika adalah bahasa numerik, matematika adalah ilmu yang abstrak dan deduktif, matematika adalah metode berpikir logis, matematika adalah ilmu yang mempelajari hubungan pola, bentuk dan struktur, matematika adalah ratunya ilmu dan juga menjadi pelayan ilmu yang lain. Matematika adalah salah satu pengetahuan tertua yang terbentuk dari penelitian bilangan dan ruang. Matematika adalah suatu disiplin ilmu yang berdiri sendiri dan tidak merupakan cabang dari ilmu pengetahuan alam. Kata matematika berasal dari perkataan Latin mathematika yang mulanya diambil dari perkataan Yunani mathematike yang berarti mempelajari. Perkataan itu mempunyai asal katanya mathema yang berarti pengetahuan atau ilmu (knowledge, science). Kata mathematike berhubungan pula dengan kata lainnya yang hampir sama, yaitu mathein atau mathenein yang artinya belajar (berpikir). Jadi, berdasarkan asal katanya, maka perkataan matematika berarti ilmu pengetahuan yang didapat dengan berpikir (bernalar). Matematika lebih menekankan kegiatan dalam dunia rasio (penalaran), bukan menekankan dari hasil eksperimen atau hasil observasi matematika terbentuk karena pikiran-pikiran manusia, yang berhubungan dengan idea, proses, dan penalaran (Russeffendi ET, 1980 :148). Istilah mathematics (Inggris), mathematik (Jerman), mathematique (Perancis), matematico (Itali), matematiceski (Rusia), atau mathematick/ wiskunde (Belanda) berasal dari perkataan lain matematika, yang mulanya diambil dari perkataan Yunani, μαθηματικά - mathēmatiká, yang berarti “ Relating to learning”.

Matematika terbentuk dari pengalaman manusia dalam dunianya secara empiris. Kemudian pengalaman itu diproses di dalam dunia rasio, diolah secara analisis dengan penalaran di dalam struktur kognitif sehingga sampai terbentuk konsep-konsep matematika supaya konsep-konsep matematika yang terbentuk itu mudah dipahami oleh orang lain dan dapat dimanipulasi secara tepat, maka digunakan bahasa matematika atua notasi matematika yang bernilai global (universal). Konsep matematika didapat karena proses berpikir, karena itu logika adalah dasar terbentuknya matematika. Dapat dikatakan bahwa matematika merupakan ilmu pengetahuan yang mempelajari struktur yang abstrak dan pola hubungan yang ada didalamnya. Ini berarti bahwa belajar matematika pada hakekatnya adalah belajar konsep, struktur konsep dan mencari hubungan antar konsep dan strukturnya.

Ada beberapa definisi dari beberapa para ahli mengenai matematika, diantaranya seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika sebagai "ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting". Di pihak lain, Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan”.

Lain halnya dengan Russefendi (1988 : 23) yang mengatakan bahwa matematika terorganisasikan dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan, definisi-definisi, aksioma-aksioma, dan dalil-dalil di mana dalil-dalil setelah dibuktikan kebenarannya berlaku secara umum, karena itulah matematika sering disebut ilmu deduktif.

James dan James (1976) menyatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang logika, mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan lainnya. Matematika terbagi dalam tiga bagian besar yaitu aljabar, analisis dan geometri. Tetapi ada juga pendapat yang mengatakan bahwa matematika terbagi menjadi empat bagian yaitu aritmatika, aljabar, geometris dan analisis dengan aritmatika mencakup teori bilangan dan statistika.

Selain itu ada juga pendapat dari Johnson dan Rising(1972) yang menyatakan matematika adalah pola berpikir, pola mengorganisasikan, pembuktian yang logis, matematika itu adalah bahasa yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat, jelas dan akurat representasinya dengan simbol dan padat, lebih berupa bahasa symbol mengenai ide daripada mengenai bunyi. Matematika adalah pengetahuan struktur yang terorganisasi, sifat-sifat dalam teori-teori dibuat secara deduktif berdasarkan kepada unsure yang tidak didefinisikan, aksioma, sifat atau teori yang telah dibuktikan kebenarannya adalah ilmu tentang keteraturan pola atau ide, dan matematika itu adalah suatu seni, keindahannya terdapat pada keterurutan dan keharmonisannya.

Lain halnya dengan Reys - dkk (1984),  matematika adalah telaahan tentang pola dan hubungan, suatu jalan atau pola berpikir, suatu seni, suatu bahasa dan suatu alat. Kline (1973) matematika itu bukan pengetahuan menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi adanya matematika itu terutama untuk membantu manusia dalam memahami dan menguasai permasalahan sosial, ekonomi, dan alam.

Menurut Roy Hollands ”matematika adalah suatu sistem yang rumit tetapi tersusun sangat baik yang mempunyai banyak cabang”. Secara luas matematika tidak hanya berhubungan dengan bilangan-bilangan tetapi lebih luas ia berhubungan dengan alam semesta. The Liang Gie mengutip pendapat seorang ahli matematika bernama Charles Edwar Jeanneret yang mengatakan: ”Mathematics is the majestic structure by man to grant him comprehension of the universe, yang artinya matematika adalah struktur besar yang dibangun oleh manusia untuk memberikan pemahaman mengenai jagat raya.

Menurut Soedjadi (2000: 1) mengemukakan bahwa ada beberapa definisi atau pengertian matematika berdasarkan sudut pandang pembuatnya, yaitu sebagai berikut:

·            Matematika adalah cabang ilmu pengetahuan eksak dan terorganisisr secara sistematik

·            Matematika adalah pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasi

·            Matematika adalah pengetahuan tentang penalaran logik dan berhubungan dengan bilangan.

·            Matematika adalah pengetahuan fakta-fakta kuantitatif dan masalah tentang ruang dan bentuk.

·            Matematika adalah pengetahuan tentang struktur-struktur yang logic

·            Matematika adalah pengetahuan tentang aturan-aturan yang ketat.

Ernest melihat matematika sebagai suatu konstruktivisme sosial yang memenuhi tiga premis sebagai berikut: i) The basis of mathematical knowledge is linguistic language, conventions and rules, and language is a social constructions; ii) Interpersonal social processes are required to turn an individual’s subjective mathematical knowledge, after publication, into accepted objective mathematical knowledge; and iii) Objectivity itself will be understood to be social. (Ernest, 1991:42). Selain Ernest, terdapat sejumlah tokoh yang memandang matematika sebagai suatu konstruktivisme sosial. Misalnya, Dienes mengatakan bahwa matematika adalah ilmu seni kreatif. Oleh karena itu, matematika harus dipelajari dan diajarkan sebagai ilmu seni. (Ruseffendi, 1988:160).

Bourne juga memahami matematika sebagai konstruktivisme sosial dengan penekanannya pada knowing how, yaitu pebelajar dipandang sebagai makhluk yang aktif dalam mengkonstruksi ilmu pengetahuan dengan cara berinteraksi dengan lingkungannya. Hal ini berbeda dengan pengertian knowing that yang dianut oleh kaum absoluitis, di mana pebelajar dipandang sebagai mahluk yang pasif dan seenaknya dapat diisi informasi dari tindakan hingga tujuan. (Romberg, T.A. 1992: 752).

Kitcher lebih memfokuskan perhatiannya kepada komponen dalam kegiatan matematika. (Jackson, 1992:753). Dia mengklaim bahwa matematika terdiri atas komponen-komponen: bahasa (language) yang dijalankan oleh para matematikawan, pernyataan (statements) yang digunakan oleh para matematikawan, pertanyaan (questions) penting yang hingga saat ini belum terpecahkan, alasan (reasonings) yang digunakan untuk menjelaskan pernyataan, dan ide matematika itu sendiri. Bahkan secara lebih luas matematika dipandang sebagai the science of pattern.

Sejalan dengan kedua pandangan di atas, Sujono (1988:5) mengemukakan beberapa pengertian matematika. Di antaranya, matematika diartikan sebagai cabang ilmu pengetahuan yang eksak dan terorganisasi secara sistematik. Selain itu, matematika merupakan ilmu pengetahuan tentang penalaran yang logik dan masalah yang berhubungan dengan bilangan. Bahkan dia mengartikan matematika sebagai ilmu bantu dalam menginterpretasikan berbagai ide dan kesimpulan.

Pengertian yang lebih plural tentang matematika dikemukakan oleh Freudental (1991:1). Dia mengatakan bahwa “mathematics look like a plural as it still is in French Les Mathematiques .Indeed, long ago it meant a plural: four arts (liberal ones worth being pursued by free men). Mathematics was the quadrivium, the sum of arithmetic, geometry astronomy and music, held in higher esteem than the (more trivial) trivium: grammar, rhetoric and dialectic. …As far as I am familiar with languages, Ducth is the only one in which the term for mathematics is neither derived from nor resembles the internationally sanctioned Mathematica. The Ducth term was virtually coined by Simon (1548-1620): Wiskunde, the science of what is certain. Wis en zeker, sure and certain, is that which does not yield to any doubt, and kunde means, knowledge, theory.

Dari sisi abstraksi matematika, Newman melihat tiga ciri utama matematika, yaitu; matematika disajikan dalam pola yang lebih ketat, matematika berkembang dan digunakan lebih luas dari pada ilmu-ilmu lain, dan matematika lebih terkonsentrasi pada konsep. (Jackson, 1992:755).

Selanjutnya, pendapat para ahli mengenai matematika yang lain, di antaranya telah muncul sejak kurang lebih 400 tahun sebelum masehi, dengan tokoh-tokoh utamanya Plato (427–347 SM) dan seorang muridnya Aristoteles (348–322 SM). Mereka mempunyai pendapat yang berlainan. Plato berpendapat, bahwa matematika adalah identik dengan filsafat untuk ahli pikir, walaupun mereka mengatakan bahwa matematika harus dipelajari untuk keperluan lain. Objek matematika ada di dunia nyata, tetapi terpisah dari akal. Ia mengadakan perbedaan antara aritmetika (teori bilangan) dan logistik (teknik berhitung) yang diperlukan orang. Belajar aritmetika berpengaruh positif karena memaksa yang belajar untuk belajar bilangan-bilangan abstrak. Dengan demikian matematika ditingkatkan menjadi mental aktivitas mental abstrak pada objek-objek yang ada secara lahiriah, tetapi yang ada hanya mempunyai representasi yang bermakna.

Sedangkan orang Arab, menyebut matematika dengan ‘ilmu al-hisab yang berarti ilmu berhitung. Di Indonesia, matematika disebut dengan ilmu pasti dan ilmu hitung. Sebagian orang Indonesia memberikan plesetan menyebut matematika dengan “matimatian”, karena sulitnya mempelajari matematika. (Abdusysyakir, 2007:5). Pada umumnya orang awam hanya akrab dengan satu cabang matematika elementer yang disebut aritmetika atau ilmu hitung yang secara informal dapat didefinisikan sebagai ilmu tentang berbagai bilangan yang bisa langsung diperoleh dari bilangan-bilangan bulat 0, 1, -1, 2, – 2, …, dst, melalui beberapa operasi dasar: tambah, kurang, kali dan bagi.

Matematika secara umum ditegaskan sebagai penelitian pola dari struktur, perubahan, dan ruang; tak lebih resmi, seorang mungkin mengatakan adalah penelitian bilangan dan angka. Dalam pandangan formalis, matematika adalah pemeriksaan aksioma yang menegaskan struktur abstrak menggunakan logika simbolik dan notasi matematika; pandangan lain tergambar dalam filosofi matematika. Sedangkan dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI), matematika didefinisikan sebagai ilmu tentang bilangan, hubungan antara bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam penyelesaian masalah mengenai bilangan. menurut Sumardyono (2004:28) secara umum definisi matematika dapat dideskripsikan sebagai berikut, di antaranya:

·            Matematika sebagai struktur yang terorganisir. Agak berbeda dengan ilmu pengetahuan yang lain, matematika merupakan suatu bangunan struktur yang terorganisir. Sebagai sebuah struktur, ia terdiri atas beberapa komponen, yang meliputi aksioma/postulat, pengertian pangkal/primitif, dan dalil/teorema (termasuk di dalamnya lemma (teorema pengantar/kecil) dan corolly/sifat).

·            Matematika sebagai alat (tool). Matematika juga sering dipandang sebagai alat dalammencari solusi pelbagai masalah dalam kehidupan sehari-hari.

·            Matematika sebagai pola pikir deduktif. Matematika merupakan pengetahuan yang memiliki pola pikir deduktif, artinya suatu teori atau pernyataan dalam matematika dapat diterima kebenarannya apabila telah dibuktikan secara deduktif (umum).

·            Matematika sebagai cara bernalar (the way of thinking). Matematika dapat pula dipandang sebagai cara bernalar, paling tidak karena beberapa hal, seperti matematika matematika memuat cara pembuktian yang sahih (valid), rumus-rumus atau aturan yang umum, atau sifat penalaran matematika yang sistematis.

·            Matematika sebagai bahasa artifisial. Simbol merupakan ciri yang paling menonjol dalam matematika. Bahasa matematika adalah bahasa simbol yang bersifat artifisial, yang baru memiliki arti bila dikenakan pada suatu konteks.

·            Matematika sebagai seni yang kreatif. Penalaran yang logis dan efisien serta perbendaharaan ide-ide dan pola-pola yang kreatif dan menakjubkan, maka matematika sering pula disebut sebagai seni, khususnya merupakan seni berpikir yang kreatif.

Meskipun diberikan pengertian matematika dengan panjang lebar secara tertulis atau lisan penjelasannya, belum memberikan jawaban secara utuh yang dapat dipahami secara menyeluruh tentang apa matematika itu. Menurut Courant dan Robbin bahwa untuk dapat mengetahui apa matematika itu sebenarnya, seseorang harus mempelajari sendiri ilmu matematika tersebut. Matematika dapat kita pelajari dengan baik bila disertai dengan mengerjakannya. Dalam proses bekerja tersebut diperlukan keterlibatan berpikir yang kita sebut dengan berpikir kritis.  Karena matematika dapat ditinjau dari semua sudut, dan memasuki seluruh segi kehidupan manusia baik dari yang sederhana sampai yang kompleks.

2.2        Matematika sebagai Ilmu Deduktif

Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif. Ini berarti proses pengerjaan matematika harus bersifat deduktif. Matematika tidak menerima generalisasi berdasarkan pengamatan (induktif), tetapi harus berdasarkan pembuktian deduktif. Dasar pembuktian deduktif yang berperan besar dalam matematika adalah kebenaran, suatu pernyataan haruslah didasarkan pada kebenaran pernyataan-pernyataan sebelumnya. Penarikan kesimpulan yang demikian ini sangat berbeda dengan penarikan kesimpulan pada penalaran induktif yang dipaparkan pada hasil pengamatan atau eksperimen terbatas.

Dalam penalaran deduktif, kebenaran dalam setiap pernyataannya harus didasarkan pada kebenaran pernyataan sebelumnya. Mungkin timbul pertanyaan bagaimana menyatakan kebenaran dari pernyataan yang paling awal? Untuk mengatasi hal tersebut, dalam penalaran deduktif diperlukan beberapa pernyataan awal atau pangkal sebagai “kesepakatan” yang diterima kebenarannya tanpa pembuktian. Pernyataan awal atau pernyataan pangkal dalam matematika dikenal dengan istilah aksioma atau postulat. Dalam matematika, suatu generalisasi, sifat, teori atau dalil belum dapat diterima kebenarannya sebelum dapat dibuktikan secara deduktif.

Sebagai contoh dalam Ilmu Pengetahuna Alam (IPA), bila seseorang melakukan percobaan memanaskan sebatang logam, ternyata logam yang dipanaskan tersebut akan memuai. Kemudian sebatang logam lainnya dipanaskan ternyata memuai juga, dan seterusnya mengambil beberapa contoh jenis-jenis logam lainnya dan ternyata selalu memuai jika dipanaskan. Dari percobaan ini dapat dibuat kesimpulan atau generalisasi bahwa setiap logam yang dipanaskan itu memuai. Kesimpulan atau generalisasi seperti ini merupakan hasil penalaran secara induktif. Generalisasi seperti ini dalam IPA dibenarkan.

Contoh dalam IPA seperti tersebut di atas, secara matematika belum dapat dianggap sebagai generalisasi. Dalam matematika, contoh-contoh seperti itu baru dapat dianggap sebagai generalisasi bila kebenarannya dapat dibuktikan secara deduktif.

Sekarang kita akan mengambil beberapa contoh generalisasi yang dibenarkan dan yang tidak dibenarkan dalam matematika. Generalisasi yang dibenarkan dalam matematika adalah generalisasi yang telah dapat dibuktikan secara deduktif.

 Contoh 1:

Pernyataan: jumlah dua buah bilangan ganjil adalah bilangan genap.

+	1	3	5
1	2	4	6
7	8	10	12
9	10	12	14

Tabel 2.1 Penjumlahan Bilangan Ganjil

Perhatikan hasil penjumlahan pada tabel 1. Apa yang bisa Anda katakan? Tentunya Anda akan mengatakan bahwa setiap dua bilangan ganjil jika dijumlahkan hasilnya selalu genap.

Dalam matematika tidak dibenarkan membuat generalisasi atau membuktikan dengan cara demikian. Walaupun Anda menunjukkan sifat itu dengan mengambil beberapa contoh yang lebih banyak lagi. Matematika tetap tidak membenarkan membuat generalisasi yang mengatakan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah genap, sebelum membuktikannya secara deduktif.

Bukti deduktif

ð    Misalkan m dan n sebarang dua bilangan bulat,

ð    maka 2m + 1 dan 2n + 1 masing-masing merupakan bilangan ganjil.

ð    Jika kita jumlahkan:

            (2m + 1) + (2n + 1) = 2(m + n + 1)

ð    Karena m dan n bilangan bulat, maka (m + n + 1) bilangan bulat, sehingga 2(m + n + 1) adalah bilangan genap

ð    Jadi jumlah dua bilangan ganjil selalu genap.

Contoh 2

Jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga adalah 180⁰.

Misalnya siswa mengukur ketiga sudut sebuah segititga dengan busur derajat dan menjumlahkan ketiga sudut tersebut, ternyata hasilnya sama dengan 1800. Walaupun proses pengukuran dan penjumlahan ketiga sudut ini diberlakukan kepada segitiga-segitiga yang lain dan hasilnya selalu sama dengan 1800, tetap kita tidak dapat menyimpulkan bahwa jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga sama dnegan 1800, sebelum membuktikan secara deduktif.

d

c

a

                                                

b

 

Garis a // garis b, dipotong oleh garis c dan garis d, maka terbentuk Ð 1 , Ð 2 , Ð 3 , Ð 4 , Ð 5.

Ð 1 + Ð 2 + Ð 3 = 180⁰ (membentuk sudut lurus)

Ð 1 = Ð 4 (sudut-sudut bersebrangan dalam)

Ð 3 = Ð 5 (sudut-sudut bersebrangan dalam)

Maka: Ð 1 + Ð 2 + Ð 3 = Ð 4 + Ð 2 + Ð 5 = 180⁰ Karena Ð 4 + Ð 2 + Ð 5 merupakan jumlah dari ketiga sudut dalam pada sebuah segitiga, maka dapat disimpulkan bahwa jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga sama dengan 180⁰.

Dari uraian-uraian di atas, dapatlah kita simpulkan bahwa matematika itu merupakan ilmu deduktif yang tidak menerima generalisasi yang didasarkan kepada observasi (induktif) tetapi generalisasi yang didasarkan pada pembuktian secara deduktif.

2.3              Matematika sebagai Ilmu Terstruktur

Menurut Ruseffendi (Tim MKPBM, 2001;25) matematika mempelajari tentang pola keteraturan, tentang struktur yang terorganisasikan. Hal ini dimulai dari unsur-unsur yang tidak terdefinisikan kemudian pada unsur yang didefinisikan, ke aksioma/postulat dan akhirnya pada teorema. Konsep-konsep matematika tersusun secara hierarki, terstruktur, logis, dan sistematis mulai dari konsep yang paling sederhana sampai pada konsep yang paling kompleks. Dalam matematika terdapat topik atau konsep prasyarat sebagai dasar untuk memahami topik atau konsep selanjutnya. Ibarat membangun sebuah gedung bertingkat, lantai kedua dan selanjutnya tidak akan terwujud apabila fondasi dan lantai sebelumnya yang menjadi prasyarat benar-benar dikuasai, agar dapat memahami konsep-konsep selanjutnya.

Sebagai contoh dapat dilihat susunan topik-topik dalam matematika yang harus dipelajari terlebih dahulu (dan berikutnya) untuk sampai pada topik persamaan. Untuk sampai pada topik persamaan tersebut haruslah melalui jalur-jalur pasti yang telah tersusun. Sebaliknya apabila jalur-jalur itu dilanggar, maka konsep persamaan tidak akan tertanam dengan baik.

Catatan: Dari diagram di bawah, terlihat bahwa untuk memahami konsep persamaan memerlukan konsep-konsep lain yang menjadi prasyaratnya, akan tetapi tidak perlu setiap konsep di bawahnya dipakai. Cukup dipilih sebuah jalur tertentu, tergantung dari tujuannya.

Untuk lebih memperjelas uraian di atas, marilah kita lihat contoh berikut ini:

Kita ambil contoh pada satu bagian kecil yang dipelajari dalam matematika, yaitu dalam geometri. Pada Geometri terdapat unsur-unsur yang tidak didefinisikan antara lain titik, garis, dan bidang.

Apakah titik itu? Titik dalam matematika diasumsikan ada, tetapi tidak dinyatakan dalam suatu kalimat yang tepat untuk mejelaskannya. Sebab titik adalah suatu obyek matematika yang tidak didefinisikan (unsur primitif). Paling-paling kita hanya mampu untuk sekedar memberikan gambaran bahwa titik itu tidak mempunyai ukuran panjang, luas, isi, dan berat. Suatu titik digambarkan hanya untuk membantu pemikiran kita saja. Meskipun demikian kita sepakat bahwa titik itu ada.

Sedangkan bidang (datar) adalah sesuatu yang bentuknya datar seperti permukaan meja yang tidak mempunyai batas pinggir. Meskipun kita tidak mampu untuk memberikan pernyataan dengan tepat, tetapi kita sepakat bahwa bidang itu ada. Titik dan bidang itu termasuk ke dalam unsur primitif yang eksistensinya diakui ada. Tanpa pemikiran semacam itu matematika tidak akan terwujud.

Dari unsur-unsur yang tidak terdefinisi itu selanjutnya dapat dibentuk unsur-unsur matematika yang terdefinisi.

Contoh:

1) Dua garis berpotongan memiliki satu titik sekutu. Titik itu selanjutnya disebut titik potong.

2) Segitiga adalah lengkungan tertutup sederhana yang merupakan gabungan dari tiga buah segmen garis (sudah tentu definisi tentang ruas garis, operasi gabungan, dan lengkungan tertutup sederhana sudah terlebih dahulu diberikan).

3) Bilangan genap adalah bilangan bulat yang habis dibagi dua (pengertian bilangan bulat dan habis dibagi sebelumnya telah dipahami).

Dari unsur-unsur yang tidak terdefinisi dan unsur-unsur terdefinisi dapat dibuat asumsi-asumsi yang dikenal dengan aksioma atau postulat. Misalnya:

1) Melalui sebuah titik sebarang hanya dapat dibuat sebuah garis ke suatu titik yang lain.

2)   Kesamaan ditambah kesamaan menghasilkan kesamaan.

Pernyataan-pernyataan tersebut di atas tidak perlu dibuktikan kebenarannya, karena tanpa membuktikannya secara formal sudah dapat diterima kebenarannya berdasarkan pemikiran logis. Tahap selanjutnya, dari unsur-unsur yang tidak terdefinisi, unsur-unsur yang terdefinisi, dan aksioma atau postulat dapat disusun teorema-teorema yang kebenarannya harus dibuktikan secara deduktif dan berlaku umum.

Misalnya:

±  Jumlah ukuran ketiga sudut dalam sebuah segitiga adalah 180 derajat (ukuran sudut dalam derajat telah didefinisikan terlebih dahulu).

±  Jumlah dua buah bilangan ganjil menghasilkan bilangan genap.

Dan teorema yang telah terbentuk dapat dirumuskan lagi teorema baru sebagai pengembangan atau perluasannya.

Contoh lainnya dapat kita lihat dari konsep-konsep yang ada dalam struktur aljabar atau aljabar modern atau aljabar abstrak seperti grup, ring, field, integral domain dan teorema-teoremanya yang nampak dengan jelas merupakan suatu sistem matematika yang mempunyai keteraturan struktur yang terorganisasikan dengan baik.

Ambil contoh lainnya lagi, misalnya geometri modern yang merupakan suatu sistem matematika aksiomatik, yang memiliki unsur tidak didefinisikan, unsur yang didefinisikan, postulat atau aksioma dan dalil atau teori yang dirumuskan dengan jelas. Dinamakan geometri modern karena memiliki istilah, simbol dan gambar yang akurat yang tidak meragukan, karena tidak mempunyai dua arti atau lebih. Misalnya pada geometri modern antara ruas garis dan garis mempunyai simbol dan gambar yang berbeda, sedangkan pada geometri tradisional sama. Demikian pula tentang kaki-kaki sebuah segitiga sama kaki pada geometri modern disebut kongruen, sedangkan pada geometri tradisional disebut sama. Kemudian istilah atau bahasa dalam geometri modern jauh lebih tepat dari pada bahasa dalam geometri tradisional. Misalnya dalam geometri tradisional kita sering mengatakan "Luas sebuah segitiga = 10 m²". Dalam geometri modern kita harus mengatakan “Luas daerah sebuah segitiga=10 m²”. Alasannya, karena segitiga itu tidak mempunyai luas, yang mempunyai luas adalah daerah sitiga.

Masih banyak contoh-contoh lainnya yang memperlihatkan bahwa matematika merupakan ilmu pengetahuan mengenai struktur yang terorganisasikan dengan baik, dan semua struktur dalam matematika diorganisasikan dengan sistematis dalam rangkaian urutan yang logis.

2.4        Matematika sebagai Ratu dan Pelayan Ilmu

Matematika sebagai ratu atau ibunya ilmu dimaksudkan bahwa matematika adalah sebagai sumber dari ilmu yang lain. Dengan perkataan lain, perkembangan matematika tak tergantung pada ilmu-ilmu lain. Banyak cabang matematika yang dulu biasa disebut matematika murni, dikembangkan oleh beberapa matematikawan yang mencintai dan belajar matematika hanya sebagai hobby tanpa memperdulikan fungsi dan manfaatnya untuk ilmu-ilmu lain. Dengan perkembangan teknologi, banyak cabang-cabang matematika murni yang ternyata kemudian hari bisa diterapkan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan teknologi mutakhir. Banyak ilmu-ilmu yang penemuan dan pengembangannya bergantung dari matematika. Sebagai contoh, banyak teori-teori dan cabang-cabang dari Fisika dan Kimia (modern) yang ditemukan dan dikembangkan melalui konsep Kalkulus, khususnya tentang Persamaan Diferensial. Penemuan dan pengembangan Teori Mendel dalam Biologi melalui konsep Peluang, Karakteristik Matematika (probabilitas); Teori Ekonomi mengenai Permintaan dan Penawaran yang dikembangkan melalui konsep Fungsi dan Kalkulus.

Dari kedudukan matematika sebagai ratu ilmu pengetahuan, seperti telah diuraikan di atas, tersirat bahwa matematika itu sebagai suatu ilmu yang berfungsi pula untuk melayani ilmu pengetahuan. Dengan perkataan lain, matematika tumbuh dan berkembang untuk dirinya sendiri sebagai suatu ilmu, juga untuk melayani kebutuhan ilmu pengetahuan dalam pengembangan dan operasionalnya. Cabang matematika yang memenuhi fungsinya seperti yang disebutkan terakhir itu dinamakan dengan matematika terapan (Applied Mathematics).

2.5    Matematika Adalah Ilmu Tentang Pola dan Hubungan

Matematika disebut sebagai ilmu tentang pola karena pada matematika sering dicari keseragaman seperti keterurutan, keterkaitan pola dari sekumpulan konsep-konsep tertentu atau model yang merupkan representasinya untuk membuat generalisasi.

Misal :

Jumlah a bilangan genap selamanya sama dengan a².

Contoh :

a = 1 maka jumlahnya = 1 = 1².

Selanjutnya 1 dan 3 adalah bilangan-bilangan ganjil jumlahnya adalah 4 = 2². Berikutnya 1, 3, 5,dan 7, maka jumlahnya adalah 16 = 4² dan seterusnya. Dari contoh-contoh tersebut, maka dapat dibuat generalisasi yang berupa pola yaitu jumlah a bilangan ganjil yang berurutan sama dengan a².

Matematika disebut ilmu tentang hubungan karena konsep matematika satu dengan lainnya saling berhubungan.

Misalnya : Antara persegi panjang dengan balok, antara persegi dengan kubus, antara kerucut dengan lingkaran, antara 5 x 6 = 30 dengan 30 : 5 = 6. Antara 10² = 100 dengan  = 10. Demikian juga cabang matematika satu dengan lainnya saling berhubungan seperti aritmatika, aljabar, geometri dan statistika, dan analisis.

2.6     Matematika Memperhatikan Semesta Pembicaraan

Penyelesaian dalam matematika harus disesuaikan dengan semesta pembicaraan. Simbol-simbol akan bermakna jika ruang lingkup pembicaraanya jelas. Jika ruang lingkupnya bilangan, maka dsimbol-simbol tersebut diartikan bilangan. Contoh : Penyelesaian persamaan  diselesaikan dengan memperhatikan semesta pembicaraan. Jika semesta pembicaraannya bilangan riil, maka hasilnya adalah . Tetapi jika semesta pembicaraannya bilangan bulat maka penyelesaiannya ‘himpunan kosong’.

2.7         Matematika Konsisten Dengan Sistemnya

Dalam matematika banyak system yang saling berkaitan satu sama lainnya dan ada juga yang tidak saling berkaitan. Didalam masing-masing sistem berlaku konsistensi atau ketaatazasan, artinya bahwa dalam system tidak boleh terdapat kontradiksi. Suatu teorema ataupun definisi harus menggunakan istilah atau konsep yang diterapkan terlebih dahulu. Konsistensi itu baik dalam makna maupun dalam hal nilai kebenaran.  Hal ini menjadi masalah matematika harus konsisten terhadap hasilnya. Menurut Soedjadi( 2000,65), bila diperhatikan satu per satu karakteristik matematika tersebut, maka dapat dipahami bahwa matematika yang amat pusing dalam hidup keseharian mereka baik kini maupun masa yang akan datang. Bila karakteristik tersebut secara sadar dimanfaatkan sebagai wahana pendidikan jelas memiliki edukasi yang dapat mengarahkan siwa untuk disiplin atau taat pada peraturan.

2.8        Matematika Bertumpu Pada Kesepakatan

Kesepakatan dalam Matematika merupakan ikatan yang mengikat untuk menghindari pembuktian yang berputar-putar baik dalam pembuktian maupun dalam pendefinisian. Kesepakatan yang mendasar adalah aksioma dan konsep primitive. Aksioma yang disebut juga potulat merupakan pernyataan yang tidak perlu dibuktikan, sedangkan konsep primitive bertujuan memberikan pengertian pangkal yang tidak seharusnya didefinisikan.

2.9        Matematika Memiliki Simbol Yang Kosong Dari Arti

Matematika memiliki banyak simbol, baik huruf maupun bilangan. Model matematika x + y = z, belum tentu bermakna atau berarti. Tidak selalu x, y, z berarti bilangan. Bilangan-bilangan yang digunakan dalam pembelajaran pun bebas dari arti atau makna real.  Makna huruf dan operasi tergantung permasalahan yang mengakibatkan terbentuknya model matematika. Bahkan tanda “+” tidak selalu berarti operasi tambah untuk dua bilangan, tetapi bisa jadi operasi untuk vector, matriks dan lain-lain.  Secara umum, x + y = z masih kosong dari arti, tergantung permasalahannya. Jadi, model atau symbol matematika sesungguhnya kosong dari arti. Ia akan bermakna sesuatu bila kita mengaitkannya dengan konteks tertentu. Secara umum, hal ini pula yang membedakan symbol matematika dengan symbol bukan matematika. Kosongnya arti dari model-model matematika itu merupakan “kekuatan” matematika, yang dengan sifat tersebut ia bisa masuk pada berbagai macam bidang kehidupan.

C.    PENUTUP

1.1  Simpulan

Dari pembahasan di atas, dapat disimpulkan beberapa hal, diantaranya adalah

1.      Matematika adalah salah satu pengetahuan tertua yang terbentuk dari penelitian bilangan dan ruang. Matematika adalah suatu disiplin ilmu yang berdiri sendiri dan tidak merupakan cabang dari ilmu pengetahuan alam. Kata matematika berasal dari perkataan Latin mathematika yang mulanya diambil dari perkataan Yunani mathematike yang berarti mempelajari. Perkataan itu mempunyai asal katanya mathema yang berarti pengetahuan atau ilmu (knowledge, science). Kata mathematike berhubungan pula dengan kata lainnya yang hampir sama, yaitu mathein atau mathenein yang artinya belajar (berpikir). Jadi, berdasarkan asal katanya, maka perkataan matematika berarti ilmu pengetahuan yang didapat dengan berpikir (bernalar).

2.      Matematika merupakan ilmu deduktif yang tidak menerima generalisasi yang didasarkan kepada observasi (induktif) tetapi generalisasi yang didasarkan pada pembuktian secara deduktif. Dasar penalaran deduktif yang berperan besar dalam matematika adalah kebenaran. Suatu pernyataan haruslah didasarkan pada kebenaran pernyataan-pernyataan sebelumnya. Pernyataan awal atau pernyataan pangkal dalam matematika dikenal dengan istilah aksioma atau postulat.

3.      Matematika sebaga ilmu yang terstruktur dimana konsep-konsep matematika tersusun secara hierarki, terstruktur, logis, dan sistematis mulai dari unsur-unsur yang tidak terdefinisikan kemudian pada unsur yang didefinisikan, ke aksioma/postulat dan akhirnya pada teorema. Dalam matematika terdapat topik atau konsep prasyarat sebagai dasar untuk memahami topik atau konsep selanjutnya.

4.      Matematika sebagai ratu atau ibunya ilmu dimaksudkan bahwa matematika adalah sebagai sumber dari ilmu yang lain. Dimana matematika tumbuh dan berkembang untuk dirinya sendiri sebagai suatu ilmu. Matematika juga sebagai pelayan ilmu karena melayani kebutuhan ilmu pengetahuan dalam pengembangan dan operasionalnya.

5.      Matematika disebut sebagai ilmu tentang pola karena pada matematika sering dicari keseragaman seperti keterurutan, keterkaitan pola dari sekumpulan konsep-konsep tertentu atau model yang merupkan representasinya untuk membuat generalisasi dan matematika disebut ilmu tentang hubungan karena konsep matematika satu dengan lainnya saling berhubungan.

6.      Matematika memperhatikan semesta pembicara artinya penyelesaian dalam matematika harus disesuaikan dengan semesta pembicaraan. Simbol-simbol akan bermakna jika ruang lingkup pembicaraanya jelas.

7.      Matematika kosisten dengan sistemnya artinya dalam matematika banyak sistem yang saling berkaitan satu sama lainnya dan ada juga yang tidak saling berkaitan. Didalam masing-masing sistem berlaku konsistensi atau ketaatazasan, artinya bahwa dalam system tidak boleh terdapat kontradiksi. Suatu teorema ataupun definisi harus menggunakan istilah atau konsep yang diterapkan terlebih dahulu. Konsistensi itu baik dalam makna maupun dalam hal nilai kebenaran.

8.      Kesepakatan dalam Matematika merupakan ikatan yang mengikat untuk menghindari pembuktian yang berputar-putar baik dalam pembuktian maupun dalam pendefinisian. Kesepakatan yang mendasar adalah aksioma dan konsep primitive.

9.      Matematika memiliki symbol yang kosong dari arti maksudnya adalah ia akan bermakna sesuatu bila kita mengaitkannya dengan konteks tertentu. Secara umum, hal ini pula yang membedakan symbol matematika dengan symbol bukan matematika. Kosongnya arti dari model-model matematika itu merupakan “kekuatan” matematika, yang dengan sifat tersebut ia bisa masuk pada berbagai macam bidang kehidupan.

1.2  Saran

1.      Bagi pendidik hendaknya sebaiknya mengetahui hal yang paling mendasar dari matematika. Dalam hal ini mengenai hakikat matematika yaitu pengertian matematika, matematika sebagai ilmu deduktif, matematika sebagai ilmu terstruktur, dan matematika sebagai ratu dan pelayan ilmu sehingga dapat memudahkan dalam mengajarkan matematika.

2.      Bagi para pendidik juga diharapakan lebih mengenalkan secara mendalam pengertian dan konsep dalam matematika itu sendiri khususnya pagi pendidik di tingkat sekolah dasar agar para peserta didik tidak salah konsep dan pengertian dari awal.