Monday, March 5, 2012

UJI NORMALITAS DAN UJI HOMOGENITAS


UJI NORMALITAS DAN UJI HOMOGENITAS

1.    UJI NORMALITAS
Uji normalitas digunakan untuk mengetahui apakah sampel yang diambil berasal dari distribusi normal atau tidak.
Dalam pengujiannya ada beberapa prosedur yang harus dilaksanakan untuk dapat menguji apakah sampel yang diambil berasal dari distribusi normal ataukah tidak.
Prosedur-prosedur tersebut meliputi ;
      Langkah pertama kita harus merumuskan formula hipotesis Ho : Data berdistribusi normal dan hipotesis tandingannya yaitu  Ha : Data tidak berdistribusi normal
      Langkah kedua menentukan taraf nyata (α) untuk mendapatkan nilai chi-square tabel
dk = k – 3
dk = Derajat kebebasan
k = banyak kelas interval
      Langkah ketiga menentukan Nilai Uji Statistik
                                            

  Keterangan:
Oi = frekuensi hasil pengamatan pada klasifikasi ke-i
Ei = Frekuensi yang diharapkan pada klasifikasi ke-i

·         Langkah keempat menentukan Kriteria Pengujian Hipotesis
http://4.bp.blogspot.com/_ritcELBjkt4/R4Rk-EltrlI/AAAAAAAAAA8/9UN7pOIkGdQ/s200/kriteria_pengujian.JPG
DENGAN PERUMUSAN HIPOTESIS ADALAH SEBAGAI BERIKUT
Tolak H0 jika X2 hitung ≥ X2 tabel
Terima H0 jika X2 hitung ≤ X2 tabel
http://4.bp.blogspot.com/_ritcELBjkt4/R4RlsEltrnI/AAAAAAAAABM/s35gkRHPopM/s320/grafik1.JPG
·         Langkah kelima atau langkah terakhir memberikan kesimpulan
Kesimpulan dibuat berdasarkan hasil pengolahan atau analisis data yang diperoleh, kesimpulan dibuat untuk menegaskan apakah sampel yang diperoleh berdistribusi normal ataukah tidak.
CONTOH
Tema : Menguji Normalitas dan Homogenitas hasil nilai SNMPTN ( nilai matematika dasar) pada paket IPA pada 3 sekolah yang unggul di Gianyar, antara lain SMA N 1 Tegallalang, SMA N 1 Ubud dan SMA N 1 Gianyar. Pengujian ini dilakukan dengan mengambil 60 sampel nilai dari 60 siswa yang diambil secara acak dari perwakilan sekolahnya serta diuji dengan taraf nyata 0,05.
UJI NORMALITAS MASING-MASING KELOMPOK
I.       Tabel Daftar Nilai SNMPTN Matematika Dasar SMA Negeri 1 Tegallalang.


no
nilai


1
72


2
74


3
75


4
83


5
73


6
75


7
83


8
78


9
81


10
74


11
76


12
72


13
83


14
76


15
68


16
73


17
75


18
66


19
85


20
75


21
88


22
88


23
89


24
87


25
81


26
89


27
81


28
83


29
81


30
89


31
71


32
73


33
75


34
83


35
78


36
81


37
74


38
78


39
85


40
78


41
83


42
88


43
88


44
88


45
89


46
87


47
81


48
89


49
81


50
89


51
78


52
80


53
84


54
83


55
78


56
86


57
87


58
83


59
90


60
82






jumlah
4843


rata-rata
80.71666667


Simp. baku
6.095543431


varian
37.15564972

A.    Uji Normalitas Nilai SNMPTN SMA Negeri 1 Tegallalang
a.      Dengan metoda liliefors




Data
f
fk
data x frekuensi
F(x)
S(x)
T=F(x)-S(x)
T=|F(x)-S(x)|
66
1
1
66
-2.31644646
0.08668976
1.32000000
-1.23331024
1.23331024
68
1
2
68
-1.98833790
0.02338717
1.36000000
-1.33661283
1.33661283
71
1
3
71
-1.49617505
0.06730402
1.42000000
-1.35269598
1.35269598
72
2
5
144
-1.33212077
0.09141025
1.44000000
-1.34858975
1.34858975
73
3
8
219
-1.16806649
0.12138997
1.46000000
-1.33861003
1.33861003
74
3
11
222
-1.00401220
0.15768637
1.48000000
-1.32231363
1.32231363
75
5
16
375
-0.83995792
0.20046599
1.50000000
-1.29953401
1.29953401
76
2
18
152
-0.67590364
0.24955091
1.52000000
-1.27044909
1.27044909
78
4
22
312
-0.34779508
0.36399704
1.56000000
-1.19600296
1.19600296
81
7
29
567
0.14436777
0.55739497
1.62000000
-1.06260503
1.06260503
83
7
36
581
0.47247633
0.68170658
1.66000000
-0.97829342
0.97829342
85
2
38
170
0.80058490
0.78831400
1.70000000
-0.91168600
0.91168600
87
2
40
174
1.12869346
0.87048642
1.74000000
-0.86951358
0.86951358
88
5
45
440
1.29274774
0.90195084
1.76000000
-0.85804916
0.85804916
89
5
50
445
1.45680202
0.92741448
1.78000000
-0.85258552
0.85258552


















jumlah
50

4006




1.35269598









x rata-rata
80.120







s
6.095543431
















Kreteria uji: tolak Ho jika T>harga kuartil (1-α)





Dalam hal ini di peroleh Tmax adalah    =

1.35269598




T tabel (untuk α = 0.05 , kuantilnya adalah (1-0.05)) = 1,67





Tmax < Ttabel     , sehingga Ho diterima.

























Keterangan

 




F (z) merupakan peluang/ luas kurva Z

II.    Tabel Daftar Nilai SNMPTN Matematika Dasar SMA Negeri 1 Ubud.

No
Nilai
1
88
2
78
3
99
4
87
5
89
6
67
7
65
8
88
9
48
10
77
11
66
12
89
13
83
14
78
15
88
16
77
17
83
18
90
19
68
20
77
21
82
22
71
23
66
24
73
25
88
26
89
27
76
28
70
29
72
30
81
31
87
32
86
33
67
34
75
35
87
36
77
37
90
38
78
39
66
40
81
41
89
42
92
43
91
44
67
45
77
46
78
47
85
48
66
49
58
50
56
51
54
52
88
53
63
54
61
55
72
56
66
57
76
58
89
59
62
60
81


Jumlah
4618
rata-rata
76.96666667
simpangan baku
11.12177078
Varians
123.6937853






B.     Uji Normalitas Nilai SNMPTN SMA Negeri 1 Ubud
a.      Dengan metode liliefors



Data
f
fk
data x
frekuensi

 
F(x)
S(x)
T=F(x)-S(x)
T=|F(x)-S(x)|
48
1
1
48
-2.79811557
0.00257009
0.96000000
-0.95742991
0.95742991
65
1
2
65
-1.26958200
0.10211678
1.30000000
-1.19788322
1.19788322
66
4
6
264
-1.17966826
0.11906609
1.32000000
-1.20093391
1.20093391
67
3
9
201
-1.08975452
0.13791065
1.34000000
-1.20208935
1.20208935
68
1
10
68
-0.99984078
0.15869378
1.36000000
-1.20130622
1.20130622
70
1
11
70
-0.82001330
0.20610426
1.40000000
-1.19389574
1.19389574
71
1
12
71
-0.73009956
0.23266466
1.42000000
-1.18733534
1.18733534
72
1
13
72
-0.64018582
0.26102590
1.44000000
-1.17897410
1.17897410
73
1
14
73
-0.55027209
0.29106638
1.46000000
-1.16893362
1.16893362
75
1
15
75
-0.37044461
0.35552562
1.50000000
-1.14447438
1.14447438
76
1
16
76
-0.28053087
0.38953512
1.52000000
-1.13046488
1.13046488
77
5
21
385
-0.19061713
0.42441279
1.54000000
-1.11558721
1.11558721
78
4
25
312
-0.10070339
0.45989296
1.56000000
-1.10010704
1.10010704
81
3
28
243
0.16903783
0.56711656
1.62000000
-1.05288344
1.05288344
82
1
29
82
0.25895157
0.60216370
1.64000000
-1.03783630
1.03783630
83
3
32
249
0.34886531
0.63640478
1.66000000
-1.02359522
1.02359522
85
1
33
85
0.52869279
0.70149071
1.70000000
-0.99850929
0.99850929
86
1
34
86
0.61860653
0.73191220
1.72000000
-0.98808780
0.98808780
87
3
37
261
0.70852027
0.76068888
1.74000000
-0.97931112
0.97931112
88
4
41
352
0.79843401
0.78769066
1.76000000
-0.97230934
0.97230934
89
4
45
356
0.88834775
0.81282314
1.78000000
-0.96717686
0.96717686
90
2
47
180
0.97826149
0.83602749
1.80000000
-0.96397251
0.96397251
91
1
48
91
1.06817522
0.85727926
1.82000000
-0.96272074
0.96272074
92
1
49
92
1.15808896
0.87658613
1.84000000
-0.96341387
0.96341387
99
1
50
99
1.78748514
0.96307044
1.98000000
-1.01692956
1.01692956
jumlah
50.00000000

3956.00000000




1.20208935
x rata-rata
79.120







s
11.12177078







Kreteria uji: tolak Ho jika T>harga kuartil (1-α)





Dalam hal ini di peroleh Tmax adalah    =

1.20208935




T tabel (untuk α = 0.05 , kuantilnya adalah (1-0.05)) = 1,67





Tmax < Ttabel     , sehingga Ho diterima.
















Keterangan

 




F (z) merupakan peluang/ luas kurva Z
KESIMPULAN.
Dari analisis data diatas dengan metode Lilliefors , dapat disimpulkan data tersebut adalah berdistribusi normal.

III. Tabel Daftar Nilai SNMPTN Matematika Dasar SMA Negeri 1 Gianyar.

no
nilai
1
70
2
77
3
72
4
66
5
73
6
76
7
75
8
88
9
73
10
74
11
73
12
83
13
71
14
81
15
68
16
73
17
81
18
89
19
86
20
76
21
71
22
88
23
71
24
81
25
77
26
79
27
82
28
88
29
75
30
82
31
82
32
78
33
81
34
74
35
78
36
85
37
77
38
86
39
79
40
82
41
72
42
83
43
76
44
68
45
72
46
76
47
66
48
85
49
75
50
77
51
66
52
77
53
71
54
90
55
72
56
94
57
67
58
89
59
78
60
78


jumlah
4653
rata-rata
77.55
Simp.baku
6.695369004
varians
44.8279661

A.    Uji Normalitas Nilai SNMPTN SMA Negeri 1 Gianyar
a.      Dengan metode liliefors




Data
f
fk
data x frekuensi

F(x)
S(x)
T=F(x)-S(x)
T=|F(x)-S(x)|
66
2
2
132
-1.70565655
0.04403602
1.32000000
-1.27596398
1.27596398
68
2
4
136
-1.40694262
0.07972220
1.36000000
-1.28027780
1.28027780
70
1
5
70
-1.10822869
0.13388153
1.40000000
-1.26611847
1.26611847
71
3
8
213
-0.95887172
0.16881169
1.42000000
-1.25118831
1.25118831
72
3
11
216
-0.80951476
0.20910956
1.44000000
-1.23089044
1.23089044
73
4
15
292
-0.66015779
0.25457629
1.46000000
-1.20542371
1.20542371
74
2
17
148
-0.51080082
0.30474527
1.48000000
-1.17525473
1.17525473
75
3
20
225
-0.36144386
0.35888383
1.50000000
-1.14111617
1.14111617
76
4
24
304
-0.21208689
0.41601962
1.52000000
-1.10398038
1.10398038
77
4
28
308
-0.06272993
0.47499078
1.54000000
-1.06500922
1.06500922
78
2
30
156
0.08662704
0.53451601
1.56000000
-1.02548399
1.02548399
79
2
32
158
0.23598401
0.59327746
1.58000000
-0.98672254
0.98672254
81
4
36
324
0.53469794
0.70357063
1.62000000
-0.91642937
0.91642937
82
4
40
328
0.68405490
0.75302975
1.64000000
-0.88697025
0.88697025
83
2
42
166
0.83341187
0.79769376
1.66000000
-0.86230624
0.86230624
85
2
44
170
1.13212580
0.87120923
1.70000000
-0.82879077
0.82879077
86
2
46
172
1.28148277
0.89998793
1.72000000
-0.82001207
0.82001207
88
3
49
264
1.58019670
0.94296909
1.76000000
-0.81703091
0.81703091
89
1
50
89
1.72955367
0.95814497
1.78000000
-0.82185503
0.82185503






















































jumlah
50.00000000

3871.00000000




1.28027780
x rata-rata
77.420







s
6.695369004
















Kreteria uji: tolak Ho jika T>harga kuartil (1-α)





Dalam hal ini di peroleh Tmax adalah    =
1.28027780




T tabel (untuk α = 0.05 , kuantilnya adalah (1-0.05)) = 1,67




Tmax < Ttabel     , sehingga Ho diterima.









KESIMPULAN.
Dari analisis data diatas dengan metode Lilliefors , dapat disimpulkan data tersebut adalah berdistribusi normal.



2.   UJI HOMOGENITAS
Uji homogenitas digunakan untuk mengetahui apakah suatu data atau sampel yang diambil berasal dari varian yang homogen atau tidak.
UJI HOMOGENITAS VARIANS POPULASI
      Misal populasinya punya varians yang homogen, yaitu:
      Maka akan diuji hipotesis:
Berdasarkan sampel-sampel acak yang masing-masing diambil dari setiap populasi.
      Untuk menguji ini dilakukan dengan menggunakan uji Bartlett
Kita misalkan masing-masing sampel berukuran n1, n2, n3, ..., nk dengan data  Yij (i = 1,2,3,....,k dan j = 1,2,3,..., nk ) dan hasil pengamatannya telah disusun dalam daftar:

Dari populasi ke
Data hasil pengamatan
1
2
....
K
Y11
Y21
....
Yk1
Y12
Y22
....
Yk2
....
....
....
....
Y1n1
Y2n2
....
yknk
Sampel ke
Dk
1/dk
Si2
Log Si2
Dk log Si2
1
n1 – 1
1/(n1 – 1)
S12
Log S12
(n1 – 1) Log S12
2
n2- 1
1/(n2– 1)
S22
Log S22
(n1 – 1) Log S22
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
K
nk- 1
1/(nk– 1)
Sk2
Log Sk2
(n1 – 1) Log Sk2
Jumlah
Σ(ni- 1)
Σ(1/(ni– 1))
--
--
Σ((n1 – 1) Log Sk2)


      Selanjutnya dari sampel-sampel itu kita hitung variansnya masing-masing ialah:
      Untuk mempermudah penghitungan, satuan-satuan yang diperlukan untuk uji bartlett lebih baik disusun dalam sebuah daftar.

      Dari daftar di depan dapat dihitung:
     Varians gabungan dari semua sampel
     Harga satuan B dengan rumus:
     Untuk uji bartlett digunakan statistik chi kuadrat


     Dengan taraf nyata α, kita tolak hipotesis H0 jika:


     Untuk mengoreksi, digunakan faktor koreksi K
     Dengan faktor koreksi statistik yang dipakai sekarang adalah
     Dengan χ2 di ruas kanan. Dalam hal ini hipotesis ditolak jika:
CONTOH
Berikut merupakan daptar pertambahan berat sapi di wilayah kintamani karena adanya empat macam bentuk makanan.

Pertambahan Berat Sapi Setelah dilakukan Percobaan

Pertambahan berat badan sapi untuk makanan ke
Data hasil pengamatan
1
2
3
4
12
14
6
9
20
15
16
14
23
10
16
18
10
19
20
19
17
22



Dengan menggunakan rumus, varian diperoleh adalah
S12 = 29,3 ; S22 = 21,5 ; S32 = 35,7 ; S42 = 20,7

Data akan menjadi
Sampel ke
Dk
1/dk
Si2
log Si2
dk log Si2
1
4
0,25
29,3
1,4669
5,8676
2
4
0,25
21,5
1,3324
5,3296
3
3
0,33
35,7
1,5527
4,6581
4
3
0,33
20,7
1,3160
3,9480
Jumlah
14
1, 16
-
-
19,8033


Varian gabungan Dari sampel tersebut adalah
S2=26,6
Sehingga log S2 = log 26,6 =1,4246 dan B = (1,4246)(14) = 19,9486
Sehingga nilai
χ2 = (ln 10) {B - Σ (ni – 1) log Sk2}
χ2 = (2,3026)(19,9486-19,8033) = 0,063
Jika nilai α = 0,05, dari daftar distribusi chi square dengan dk = 3 didapat χ20,95(3) = 7,81. Ternyata bahwa χ2 = 0,063 < 7,81 sehingga hipotesis Ho : diterima dalam taraf nyata 0,05

Jika harga χ2  yang di hitung diatas nilai daftar, maka digunakan faktor korelasi K
Dengan faktor koreksi ini, statistik chi square yang dipakai sekarang adalah
 χ2 K = (1/K) χ2
Hipotesis Ho ditolak jika χ2 K ≥ χ2 (1-α)(k-1)


CONTOH

No
Nilai SMA N 1 Tegallalang
Nilai SMA N 1 Ubud
Nilai SMA N 1 Gianyar
1
72
88
70
2
74
78
77
3
75
99
72
4
83
87
66
5
73
89
73
6
75
67
76
7
83
65
75
8
78
88
88
9
81
48
73
10
74
77
74
11
76
66
73
12
72
89
83
13
83
83
71
14
76
78
81
15
68
88
68
16
73
77
73
17
75
83
81
18
66
90
89
19
85
68
86
20
75
77
76
21
88
82
71
22
88
71
88
23
89
66
71
24
87
73
81
25
81
88
77
26
89
89
79
27
81
76
82
28
83
70
88
29
81
72
75
30
89
81
82
31
71
87
82
32
73
86
78
33
75
67
81
34
83
75
74
35
78
87
78
36
81
77
85
37
74
90
77
38
78
78
86
39
85
66
79
40
78
81
82
41
83
89
72
42
88
92
83
43
88
91
76
44
88
67
68
45
89
77
72
46
87
78
76
47
81
85
66
48
89
66
85
49
81
58
75
50
89
56
77
51
78
54
66
52
80
88
77
53
84
63
71
54
83
61
90
55
78
72
72
56
86
66
94
57
87
76
67
58
83
89
89
59
90
62
78
60
82
81
78




varians
37.15564972
123.6937853
44.8279661
Smpel yang digunakan adalah no 1 - 50

Harga-harga yang diperlukan untuk uji bartlett


 


sampel
dk= (ni-1)
1/dk
si2
log si2
(dk) log si2
Tegallalang
49
0,020408
37.15564972
1,570024
76,9311
Ubud
49
0,020408
123.6937853
2,092345
102,5249
Gianyar
49
0,020408
44.8279661
1,651549
80,92590
jumlah
147
0,061224
--
--
269,3819


Ø          Varians gabungan dari ketiga sampel tersebut






 






Ø          Sehingga log s2 = log = 1,8360
Ø          Nilai B:


 



Ø          Nilai χ2 hitung :


 



Ø          Jika α = 0,05 dan dari daftar distribusi chi kuadrat dengan dk = 2 di dapat:








 


Ø          Ternyata > 5,99 sehingga hipotesis                                 diterima dalam taraf nyata 0,05.
KESIMPULAN.
Dari analisis data yang dilakukan baik secara manual didapatkan bahwa varians data nilai SNMPTN matematika dasar antara ketiga SMA tersebut adalah sama atu homogen.

1 comment:

Anonymous said...

ga keliatan equationnya