PROBABILITAS (PELUANG)

Bab III

Probabilitas

3.1.                    Pengertian Probabilitas

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering dihadapkan dengan beberapa pilihan yang harus kita tentukan memilih yang mana. Biasanya kita dihadapkan dengan kemungkinan-kemungkinan suatu kejadian yang mungkin terjadi dan kita harus pintar-pintar mengambil sikap jika menemukan keadaan seperti ini, misalkan saja pada saat kita ingin bepergian, kita melihat langit terlihat mendung. Dalam keadaaan ini kita dihadapkan antara 2 permasalahan, yaitu kemungkinan terjadinya hujan serta kemungkinan langit hanya mendung saja dan tidak akan turunnya hujan. Statistic yang membantu permasalahan dalam hal ini adalah probabilitas.

Probabilitas didifinisikan sebagai peluang atau kemungkinan suatu kejadian, suatu ukuran tentang kemungkinan atau derajat ketidakpastian suatu peristiwa (event) yang akan terjadi di masa mendatang. Rentangan probabilitas antara 0 sampai dengan 1. Jika kita mengatakan probabilitas sebuah peristiwa adalah 0, maka peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi. Dan jika kita mengatakan bahwa probabilitas sebuah peristiwa adalah 1 maka peristiwa tersebut pasti terjadi. Serta jumlah antara peluang suatu kejadian yang mungkin terjadi dan peluang suatu kejadian yang mungkin tidak terjadi adalah satu, jika kejadian tersebut hanya memiliki 2 kemungkinan kejadian yang mungkin akan terjadi.

Contoh ; Ketika doni ingin pergi kerumah temannya, dia melihat langit dalam keadaan mendung, awan berubah warna menjadi gelap, angin lebih kencang dari biasanya seta sinar matahari tidak seterang biasanya.

Bagaimanakah tindakan Doni sebaiknya?

Ketika Doni melihat keadaan seperti itu, maka sejenak dia berpikir untuk membatalkan niatnya pergi kerumah temannya. Ini dikarenakan dia beripotesis bahwa sebentar lagi akan turunya hujan dan kecil kemungkinan bahwa hari ini akan tidak hujan, mengingat gejala-gejala alam yang mulai nampak.

Probabilitas dalam cerita tadi adalah peluang kemungkinan turunnya hujan dan peluang tidak turunnya hujan.

3.2.                    Manfaat Probabilitas Dalam Penelitian

Manfaat probabilitas dalam kehidupan sehari-hari adalah membantu kita dalam mengambil suatu keputusan, serta meramalkan kejadian yang mungkin terjadi. Jika kita tinjau pada saat kita melakukan penelitian, probabilitas memiliki beberapa fungsi antara lain;

·         Membantu peneliti dalam pengambilan keputusan yang lebih tepat. Pengambilan keputusan yang lebih tepat dimagsudkan tidak ada keputusan yang sudah pasti karena kehidupan mendatang tidak ada yang pasti kita ketahui dari sekarang, karena informasi yang didapat tidaklah sempurna.

·         Dengan teori probabilitas kita dapat menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis yang terkait tentang karakteristik populasi.

Menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis (perkiraan sementara yang belum teruji kebenarannya) yang terkait tentang karakteristik populasi pada situssi ini kita hanya mengambil atau menarik kesimpulan dari hipotesis bukan berarti kejadian yang akan dating kita sudah ketehaui apa yang akan tertjadi.

·         Mengukur derajat ketidakpastian dari analisis sampel hasil  penelitian dari suatu populasi.

Contoh:

Ketika diadakannya sensus penduduk 2000, pemerintah mendapatkan data perbandingan antara jumlah penduduk berjenis kelamin laki-laki berbanding jumlah penduduk berjenis kelamin perempuan adalah memiliki perbandingan 5:6, sedangkan hasil sensus pada tahun 2010 menunjukan hasil perbandingan jumlah penduduk berjenis kelamin pria berbanding jumlah penduduk berjenis kelamin wanita adalah 5:7. Maka pemerintah dapat mengambil keputusan bahwa setiap tahunnya dari tahun 2000 hingga 2010 jumlah wanita berkembang lebih pesat daripada jumlah penduduk pria.

3.3.                    Menghitung Probabilitas atau Peluang Suatu Kejadian

Jika tadi kita hanya memperhatikan peluang suatu kejadian secara kualitatip, hanya memperhatikan apakkah kejadian tersebut memiliki peluang besar akan terjadi atau tidak. Disini kita akan membahas nilai dari probabilitas suatu kejadian secara kuantitatip. Kita bias melihat apakah suatu kejadian berpotensi terjadi ataukah tidak.

Misalkan kita memiliki sebuah dadu yang memiliki muka gambar dan angka,jika koin tersebut kita lemparkan keatas secara sembarang, maka kita memiliki 2 pilihan yang sama besar dan kuat yaitu peluang munculnya angka dan peluang munculnya gambar. Jika kita perhatikan secara seksaama, pada satu koin hanya terddiri dari satu muka gambar dan satu muka angka, maka peluang munculnya angka dan gambar adalah sama kuat yaitu ½. 1 menyatakan hanya satu dari muka pada koin yang mungkin muncul, entah itu gambar maupun angka sedangkan 2 menyatakan banyaknya kejadian yang mungkin terjadi pada pelemparan koin, yaitu munculnya gambar + munculnya angka.

Jika kita berbicara tidak lagi 2 kejadian yaitu menyangkut banyak kejadian yang mungkin terjadi, mengingat dan dari hasil pengumpulan dan penelitian data diperoleh suatu rumus sebagai berikut. Jika terdapat N peristiwa, dan n_A  dari N peristiwa tersebut membentuk kejadian A, maka probabilitas A adalah :

           

Dimana : n_A= banyaknya kejadian

     N= kejadian seluruhnya/peristiwa yang mungkin terjadi

Contoh.

        Suatu mata uang logam yang masing-masing sisinya berisi gambar dan angka dilemparkan secara bebas sebanyak 1 kali.

        Berapakah probabilitas munculnya gambar atau angka?

Jawab :

        n=1, N=2

        p(gambar  atau angka)=

        p(gambar atau angka)=1/2 atau 50%

        Dapat disimpulkan peluang munculnya gambar atau angka adalah sama besar.

Contoh 2.

Berapa peluang munculnya dadu mata satu pada satu kali pelemparan?

Jika kita tinjau pada sebuah dadu hanya memiliki 1 buah mata dadu bermata 1, sedangkan pada dadu terdapat 6 mata yaitu mata 1 sampai mata 6.

Maka

P(A)    = n_A/N

                = 1/6

 

Berikut merupakan aturan dalam probabilitas

·         Jika n = 0 makka peluang terjadinya suatu kejadian pada keadaan ini adalah sebesar P(A) = 0 atau tidak mungkin terjadi.

·         Jika n merupakan semua anggota N maka probabilitasnya adalah satu, atau kejadian tersebut pasti akan terjadi

·         Probabilitas suatu kejadian memiliki rentangan nilai

·          Jika E menyatakan bukan peristiwa E maka berlaku

HUBUNGAN ANTAR KEJADIAN

A.    EXCLUSIVE  EVENT

Exclusive event merupakan 2 kejadian atau lebih jika terjadinya  kejadian yang satu mencegah terjadinya kejadian lain.

Exclusive event biasanya dihubungkan dengan kata atau.

Jika dalam suatu peristiwa terdiri dari  k buah kejadian maka dapat dirumuskan sebagai berikut.

P(E₁ atau E₂ atau.... E_k)= P(E₁)+P(E₂)+…P(E_k)

Contoh.

Sebuah kotak berisi

A.    10 kelereng merah,

B.     20 hijau,

C.     30 kuning.

            Isi kotak diaduk dan diambil 1 buah

            kelereng secara acak

            Berapa probabilitas terambilnya

            hijau atau kuning?

JAWAB :P(A) =

           

            P(B) =

 

            P(C)=

Maka peluang terambilnya kelereng hijau atau kuning adalah

P(B)+P(C) = 0,33 + 0,50 = 0,83

B.     DEPENDENT  EVENT

Dependent event adalah terjadinya suatu peristiwa merupakan syarat dari peristiwa yang lainnya.

Jika kejadian yang satu menjadi  syarat terjadinya kejadian  yang lain ditulis A|B, Kita tulis A |B untuk menyatakan peristiwa A terjadi dengan didahului terjadinya peristiwa B. peluangnya ditulis dengan p(A |B) dan disebut dependent probability (probabilitas bersyarat). Untuk dependent events dihubungkan dengan kata dan, sehingga berlaku hubungan:

P(A dan B)=p(B).p (A |B)

Peluangnya ditulis dengan P (A│B) dan disebut dependent probability

Dependent event biasanya dihubungkan dengan kata “dan”.

Contoh.

Sebuah kotak berisi

A.    10 kelereng merah,

B.     20 hijau,

C.     30 kuning.

Isi kotak diaduk dan diambil 1 buah

            kelereng secara acak

             jika pengambilan pertama sebuah kelereng berwarna hijau

            (tanpa pengembalian). Berapakah probabilitas terambilnya sebuah

            kelereng berwarna merah pada pengambilan kedua?

Jawab.

Merupakan peluang kelereng warna hijau pada pengambilan pertama dan kelelereng warna merah pada pengambilan kedua.

C.     INDEPENDENT  EVENT

Dua kejadian atau lebih dinamakan Independent Events, jika kejadian yang satu tidak mempengaruhi kejadian yang lain.

Misalnya dua kejadian A dan B. Jika terjadinya atau tidak terjadinya kejadian A tidak mempengaruhi terjadinya kejadian B, maka A dan B disebut Independent Events. Untuk Independent Events dihubungkan dengan kata dan, sehingga berlaku hubungan:

P(A dan B ) = p(A).p(B)

Untuk berlaku k buah peristiwa berlaku:

p(E₁ dan E₂ dan…..dan E_k   )  =   p(E₁ ).p(E₂ )….p(E_k  )

contoh.

Dua buah dadu dilemparkan secara bebas satu kali. Berapakah probabilitas munculnya mata 2 dan 6 dari pelemparan tersebut?

jawab

D.    INCLUSIVE  EVENT

Dua kejadian atau lebih dinamakan saling Inclusive events jika terjadinya kejadian yang satu tidak mencegah terjadinya kejadian yang lain.

Inclusive events biasanya dihubungkan dengan kata  atau.

Misalnya kejadian A dan B merupakan kejadian Inclusif, berlaku hubungan atau A atau B atau kedua-keduanya terjadi. Untuk peristiwa tersebut berlaku:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A+B)

Contoh.

Jika probabilitas kelahiran wanita dan pria adalah sama, dan probabilitas kelahiran anak berkulit putih, kulit hitam, dan sawo matang masing-masing adalah 0,2 , 0,5 , dan 0,3. Berapakah besarnya probabilitas kelahiran anak wanita yang berkulit putih?

Jawab.

Probabilitas kelahiran pria dan wanita adalah sama,

sehingga p(pa atau w)= 0,50.

Probabilitas wanita-kulit putih=(0,50)(0,2)=0,1

P(W+P)= 0,50+0,2-0,1=0,6

3.4.     Hubungan Probabilitas Teoritik dan Probabilitas Empirik

Hubungan probabilitas teoritik dengan probabilitas empirik dapat dijelaskan melalui contoh dari pelemparan sebuah mata uang logam yang masih baik :

A = angka

G = gambar

Probabilitas teoritik

            Kemungkinan/ probabilitas yang diperoleh dengan menggunakan cara-cara yang berlainan serta asumsi bahwa semua cara yang mungkin akan terjadi atas dasar kemungkinan yang sama (equally likely basis).

Penggunaannya

Suatu koin (uang logam)

DILEMPAR 1 KALI:

P(A)=0,50(50%)

P(G)= 0,50(50%)

DIILEMPAR 10 KALI:

P(A)= 0,50X10 kali=5 kali

P(G)= 0,50X10 kali=5 kali

Contoh.

Dalam permainan ini standar kartu 52 dek kartu remi yang digunakan.

Dalam rangka untuk menang Anda harus memilih "kartu wajah."

Berapa probabilitas bahwa Anda akan memenangkan permainan ini?

JAWAB:

Secara teori:

·         Setiap kartu di dek memiliki kesempatan yang sama untuk terambil.

·         Ada 12 wajah kartu (kartu menang) di geladak.
Oleh karena itu probabilitas menang pada permainan berikutnya adalah:

 

Probabilitas Empirik.

Kemungkinan tentang terjadinya suatu peristiwa yang dihitung atas dasar pengalaman-pengalaman atau percobaan-percobaan tentang apa yang terjadi pada saat-saat yang sama di masa yang lalu atau atas dasar catatan statistik.

Karena dalam menentukan probabilitas empiris Anda benar-benar melakukan percobaan, kadang-kadang probabilitas empirik disebut:
"eksperimental probabilitas."

Pada kenyataannya sangat jarang terjadi demikian, karena ada kemungkinan muncul  jumlah angka atau gambar yang bervariasi dalam 10 kali pelemparan.

Kemungkinannya tidak hanya berkisar antara 5G dan 5A, namun bisa saja kemungkinanmunculnya angka dan gambar adalah  3G dan 7A, 4G dan 6A, dan lainnya.

Sebagai contoh, suatu produsen radio, produksi 1000 buah radionya diuji secara acak. Setelah pengujian, mereka menemukan 15 dari 1000 radio tersebut cacat.
Kita dapat dengan mudah menentukan bahwa probabilitas empiris bahwa radio rusak akan menjadi:

Sebagai desimal akan menjadi 0,15 dan sebagai suatu persen itu akan menjadi

                                                           

                                                              =   1,5%.

Sekarang produsen dapat menggunakan hasil ini untuk memprediksi bahwa dalam produksi 7.500 radio, 1,5% dari mereka mungkin akan rusak.

Jadi mereka memprediksi bahwa (0,15) (7500) = 112,5 radio rusak.

3.5.     Menghitung Nilai Harap (ekspektasi) dari suatu kejadian.

Contoh:

            Ani dan Ina bertaruh dalam pelemparan muka dadu. Jika dalam pelemparan tersebut nampak angka ganjil, maka Ani kalah dan harus membayar kepada Ina Rp 1.000,-. Dan jika nampak angka genap, maka Ina kalah dan harus membayar kepda ani Rp 1.000,-. Peluang munculnya angka genap dan angka ganjil pada dadu masing-masing adalah 1/2. Jadi peluang Ani untuk membayar uang kepda Ina adalah ½, dan peluangnya untuk menang juga ½, sehingga ekspektasi taruhan itu adalah

            ξ (untuk Ani) = ½(Rp100) + ½(-Rp100) = Rp 0.

            Untuk Ina juga berlaku hal yang sama. Berarti dalam jangka waktu yang cukup lama, dalam permainan ini Ani dan Ina masing-masing menang nol rupiah.

3.6.                    Permutasi dan Combinasi

a.    Permutasi

Permutasi dapat didefinisikan sebagai usunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi arti pada urutan (memperhatikan urutan) anggota dari masing-masing susunan tersebut disebut permutasi yang biasanya ditulis dengan lambang huruf P.

Atau dapat dibuat dalam bentuk perumusan.

 

Permutasi Melingkar/Keliling

Permutasi melingkar adalah suatu permutasi yang dibuat dengan menyusun anggota-anggota suatu himpunan secara melingkar. Dua permutasi melingkar dianggap sama bila didapatkan dua himpunan permutasi yang sama dengan cara beranjak dari suatu anggota tertentu dan bergerak searah jarum jam. Banyaknya permutasi yang disusun secara melingkar adalah (n-1) !

Contoh.

Dalam tahun ajaran baru setiap kelas dianjurkan untuk membentuk susunan pengurus kelas yang baru. Jika hanya dipilih 1 ketua kelas, 1 wakil ketua kelas , 1 bendahara dan 1 sekertaris dari 8 orang calon, tentukan kemungkinan yang akan terjadi.

Jawab.

Maka aka nada 1680 kemungkinan atau cara membentuk susunan pengurus kelas yang baru dari 8 orang calon.

b.    Combinasi

Kombinasi didefinisikan sebagai susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian dari anggota himpunan itu tanpa memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut disebut kombinasi yang ditulis dengan lambang C.
Bila himpunan itu terdiri atas n anggota dan diambil sebanyak r, tentu saja r lebih kecil atau sama dengan n, maka banyaknya susunan yang dapat dibuat dengan cara kombinasi adalah :
Kombinasi ditulis juga dengan cara : C(n,r) atau Cn,r

Susnan pada combinasi tidaklah memperhatikan urutan seperti pada permutasi, oleh daripada itu combinasi n objek yang diambil dari n adalah sebagai berikut,

Contoh.

Berapa banyaknya kemungkinan pasangan antara calon presiden dan wakil presiden jika ada 8 buah calon.

Jawab.

Karena ditanya pasangan, maka akan dibentuk tim yang terdiri dari 2 orang dari 8 calon, maka dapat dicari dengan cara.

Maka hanya ada 28 kemungkinan pasangan yang akan terjadi.