UJI NORMALITAS DAN UJI HOMOGENITAS

UJI NORMALITAS DAN UJI HOMOGENITAS

1.    UJI NORMALITAS

Uji normalitas digunakan untuk mengetahui apakah sampel yang diambil berasal dari distribusi normal atau tidak.

Dalam pengujiannya ada beberapa prosedur yang harus dilaksanakan untuk dapat menguji apakah sampel yang diambil berasal dari distribusi normal ataukah tidak.

Prosedur-prosedur tersebut meliputi ;

•      Langkah pertama kita harus merumuskan formula hipotesis Ho : Data berdistribusi normal dan hipotesis tandingannya yaitu  Ha : Data tidak berdistribusi normal

•      Langkah kedua menentukan taraf nyata (α) untuk mendapatkan nilai chi-square tabel

dk = k – 3

dk = Derajat kebebasan

k = banyak kelas interval

•      Langkah ketiga menentukan Nilai Uji Statistik

                                            

  Keterangan:
Oi = frekuensi hasil pengamatan pada klasifikasi ke-i
Ei = Frekuensi yang diharapkan pada klasifikasi ke-i

·         Langkah keempat menentukan Kriteria Pengujian Hipotesis

DENGAN PERUMUSAN HIPOTESIS ADALAH SEBAGAI BERIKUT

Tolak H0 jika X² hitung ≥ X² tabel

Terima H0 jika X² hitung ≤ X² tabel

·         Langkah kelima atau langkah terakhir memberikan kesimpulan

Kesimpulan dibuat berdasarkan hasil pengolahan atau analisis data yang diperoleh, kesimpulan dibuat untuk menegaskan apakah sampel yang diperoleh berdistribusi normal ataukah tidak.

CONTOH

Tema : Menguji Normalitas dan Homogenitas hasil nilai SNMPTN ( nilai matematika dasar) pada paket IPA pada 3 sekolah yang unggul di Gianyar, antara lain SMA N 1 Tegallalang, SMA N 1 Ubud dan SMA N 1 Gianyar. Pengujian ini dilakukan dengan mengambil 60 sampel nilai dari 60 siswa yang diambil secara acak dari perwakilan sekolahnya serta diuji dengan taraf nyata 0,05.

UJI NORMALITAS MASING-MASING KELOMPOK

I.       Tabel Daftar Nilai SNMPTN Matematika Dasar SMA Negeri 1 Tegallalang.

	no	nilai
	1	72
	2	74
	3	75
	4	83
	5	73
	6	75
	7	83
	8	78
	9	81
	10	74
	11	76
	12	72
	13	83
	14	76
	15	68
	16	73
	17	75
	18	66
	19	85
	20	75
	21	88
	22	88
	23	89
	24	87
	25	81
	26	89
	27	81
	28	83
	29	81
	30	89
	31	71
	32	73
	33	75
	34	83
	35	78
	36	81
	37	74
	38	78
	39	85
	40	78
	41	83
	42	88
	43	88
	44	88
	45	89
	46	87
	47	81
	48	89
	49	81
	50	89
	51	78
	52	80
	53	84
	54	83
	55	78
	56	86
	57	87
	58	83
	59	90
	60	82
	jumlah	4843
	rata-rata	80.71666667
	Simp. baku	6.095543431
	varian	37.15564972
A.    Uji Normalitas Nilai SNMPTN SMA Negeri 1 Tegallalang a.      Dengan metoda liliefors Data f fk data x frekuensi F(x) S(x) T=F(x)-S(x) T=|F(x)-S(x)| 66 1 1 66 -2.31644646 0.08668976 1.32000000 -1.23331024 1.23331024 68 1 2 68 -1.98833790 0.02338717 1.36000000 -1.33661283 1.33661283 71 1 3 71 -1.49617505 0.06730402 1.42000000 -1.35269598 1.35269598 72 2 5 144 -1.33212077 0.09141025 1.44000000 -1.34858975 1.34858975 73 3 8 219 -1.16806649 0.12138997 1.46000000 -1.33861003 1.33861003 74 3 11 222 -1.00401220 0.15768637 1.48000000 -1.32231363 1.32231363 75 5 16 375 -0.83995792 0.20046599 1.50000000 -1.29953401 1.29953401 76 2 18 152 -0.67590364 0.24955091 1.52000000 -1.27044909 1.27044909 78 4 22 312 -0.34779508 0.36399704 1.56000000 -1.19600296 1.19600296 81 7 29 567 0.14436777 0.55739497 1.62000000 -1.06260503 1.06260503 83 7 36 581 0.47247633 0.68170658 1.66000000 -0.97829342 0.97829342 85 2 38 170 0.80058490 0.78831400 1.70000000 -0.91168600 0.91168600 87 2 40 174 1.12869346 0.87048642 1.74000000 -0.86951358 0.86951358 88 5 45 440 1.29274774 0.90195084 1.76000000 -0.85804916 0.85804916 89 5 50 445 1.45680202 0.92741448 1.78000000 -0.85258552 0.85258552 jumlah 50 4006 1.35269598 x rata-rata 80.120 s 6.095543431 Kreteria uji: tolak Ho jika T>harga kuartil (1-α) Dalam hal ini di peroleh Tmax adalah    = 1.35269598 T tabel (untuk α = 0.05 , kuantilnya adalah (1-0.05)) = 1,67 Tmax < Ttabel     , sehingga Ho diterima.

Keterangan

 

F (z) merupakan peluang/ luas kurva Z

II.    Tabel Daftar Nilai SNMPTN Matematika Dasar SMA Negeri 1 Ubud.

No	Nilai
1	88
2	78
3	99
4	87
5	89
6	67
7	65
8	88
9	48
10	77
11	66
12	89
13	83
14	78
15	88
16	77
17	83
18	90
19	68
20	77
21	82
22	71
23	66
24	73
25	88
26	89
27	76
28	70
29	72
30	81
31	87
32	86
33	67
34	75
35	87
36	77
37	90
38	78
39	66
40	81
41	89
42	92
43	91
44	67
45	77
46	78
47	85
48	66
49	58
50	56
51	54
52	88
53	63
54	61
55	72
56	66
57	76
58	89
59	62
60	81
Jumlah 4618
rata-rata 76.96666667
simpangan baku 11.12177078
Varians 123.6937853

B.     Uji Normalitas Nilai SNMPTN SMA Negeri 1 Ubud

a.      Dengan metode liliefors
Data	f	fk	data x frekuensi			F(x)	S(x)	T=F(x)-S(x)	T=|F(x)-S(x)|
48	1	1	48		-2.79811557	0.00257009	0.96000000	-0.95742991	0.95742991
65	1	2	65		-1.26958200	0.10211678	1.30000000	-1.19788322	1.19788322
66	4	6	264		-1.17966826	0.11906609	1.32000000	-1.20093391	1.20093391
67	3	9	201		-1.08975452	0.13791065	1.34000000	-1.20208935	1.20208935
68	1	10	68		-0.99984078	0.15869378	1.36000000	-1.20130622	1.20130622
70	1	11	70		-0.82001330	0.20610426	1.40000000	-1.19389574	1.19389574
71	1	12	71		-0.73009956	0.23266466	1.42000000	-1.18733534	1.18733534
72	1	13	72		-0.64018582	0.26102590	1.44000000	-1.17897410	1.17897410
73	1	14	73		-0.55027209	0.29106638	1.46000000	-1.16893362	1.16893362
75	1	15	75		-0.37044461	0.35552562	1.50000000	-1.14447438	1.14447438
76	1	16	76		-0.28053087	0.38953512	1.52000000	-1.13046488	1.13046488
77	5	21	385		-0.19061713	0.42441279	1.54000000	-1.11558721	1.11558721
78	4	25	312		-0.10070339	0.45989296	1.56000000	-1.10010704	1.10010704
81	3	28	243		0.16903783	0.56711656	1.62000000	-1.05288344	1.05288344
82	1	29	82		0.25895157	0.60216370	1.64000000	-1.03783630	1.03783630
83	3	32	249		0.34886531	0.63640478	1.66000000	-1.02359522	1.02359522
85	1	33	85		0.52869279	0.70149071	1.70000000	-0.99850929	0.99850929
86	1	34	86		0.61860653	0.73191220	1.72000000	-0.98808780	0.98808780
87	3	37	261		0.70852027	0.76068888	1.74000000	-0.97931112	0.97931112
88	4	41	352		0.79843401	0.78769066	1.76000000	-0.97230934	0.97230934
89	4	45	356		0.88834775	0.81282314	1.78000000	-0.96717686	0.96717686
90	2	47	180		0.97826149	0.83602749	1.80000000	-0.96397251	0.96397251
91	1	48	91		1.06817522	0.85727926	1.82000000	-0.96272074	0.96272074
92	1	49	92		1.15808896	0.87658613	1.84000000	-0.96341387	0.96341387
99	1	50	99		1.78748514	0.96307044	1.98000000	-1.01692956	1.01692956
jumlah	50.00000000		3956.00000000						1.20208935
x rata-rata	79.120
s	11.12177078
Kreteria uji: tolak Ho jika T>harga kuartil (1-α)
Dalam hal ini di peroleh Tmax adalah    =					1.20208935
T tabel (untuk α = 0.05 , kuantilnya adalah (1-0.05)) = 1,67
Tmax < Ttabel     , sehingga Ho diterima.

Keterangan

 

F (z) merupakan peluang/ luas kurva Z

KESIMPULAN.

Dari analisis data diatas dengan metode Lilliefors , dapat disimpulkan data tersebut adalah berdistribusi normal.

III. Tabel Daftar Nilai SNMPTN Matematika Dasar SMA Negeri 1 Gianyar.

no	nilai
1	70
2	77
3	72
4	66
5	73
6	76
7	75
8	88
9	73
10	74
11	73
12	83
13	71
14	81
15	68
16	73
17	81
18	89
19	86
20	76
21	71
22	88
23	71
24	81
25	77
26	79
27	82
28	88
29	75
30	82
31	82
32	78
33	81
34	74
35	78
36	85
37	77
38	86
39	79
40	82
41	72
42	83
43	76
44	68
45	72
46	76
47	66
48	85
49	75
50	77
51	66
52	77
53	71
54	90
55	72
56	94
57	67
58	89
59	78
60	78
jumlah	4653
rata-rata	77.55
Simp.baku	6.695369004
varians	44.8279661

A.    Uji Normalitas Nilai SNMPTN SMA Negeri 1 Gianyar

a.      Dengan metode liliefors

Data	f	fk	data x frekuensi		F(x)	S(x)	T=F(x)-S(x)	T=|F(x)-S(x)|
66	2	2	132	-1.70565655	0.04403602	1.32000000	-1.27596398	1.27596398
68	2	4	136	-1.40694262	0.07972220	1.36000000	-1.28027780	1.28027780
70	1	5	70	-1.10822869	0.13388153	1.40000000	-1.26611847	1.26611847
71	3	8	213	-0.95887172	0.16881169	1.42000000	-1.25118831	1.25118831
72	3	11	216	-0.80951476	0.20910956	1.44000000	-1.23089044	1.23089044
73	4	15	292	-0.66015779	0.25457629	1.46000000	-1.20542371	1.20542371
74	2	17	148	-0.51080082	0.30474527	1.48000000	-1.17525473	1.17525473
75	3	20	225	-0.36144386	0.35888383	1.50000000	-1.14111617	1.14111617
76	4	24	304	-0.21208689	0.41601962	1.52000000	-1.10398038	1.10398038
77	4	28	308	-0.06272993	0.47499078	1.54000000	-1.06500922	1.06500922
78	2	30	156	0.08662704	0.53451601	1.56000000	-1.02548399	1.02548399
79	2	32	158	0.23598401	0.59327746	1.58000000	-0.98672254	0.98672254
81	4	36	324	0.53469794	0.70357063	1.62000000	-0.91642937	0.91642937
82	4	40	328	0.68405490	0.75302975	1.64000000	-0.88697025	0.88697025
83	2	42	166	0.83341187	0.79769376	1.66000000	-0.86230624	0.86230624
85	2	44	170	1.13212580	0.87120923	1.70000000	-0.82879077	0.82879077
86	2	46	172	1.28148277	0.89998793	1.72000000	-0.82001207	0.82001207
88	3	49	264	1.58019670	0.94296909	1.76000000	-0.81703091	0.81703091
89	1	50	89	1.72955367	0.95814497	1.78000000	-0.82185503	0.82185503
jumlah	50.00000000		3871.00000000					1.28027780
x rata-rata	77.420
s	6.695369004
Kreteria uji: tolak Ho jika T>harga kuartil (1-α)
Dalam hal ini di peroleh Tmax adalah    =				1.28027780
T tabel (untuk α = 0.05 , kuantilnya adalah (1-0.05)) = 1,67
Tmax < Ttabel     , sehingga Ho diterima.

KESIMPULAN.

Dari analisis data diatas dengan metode Lilliefors , dapat disimpulkan data tersebut adalah berdistribusi normal.

2.   UJI HOMOGENITAS

Uji homogenitas digunakan untuk mengetahui apakah suatu data atau sampel yang diambil berasal dari varian yang homogen atau tidak.

UJI HOMOGENITAS VARIANS POPULASI

•      Misal populasinya punya varians yang homogen, yaitu:

•      Maka akan diuji hipotesis:

Berdasarkan sampel-sampel acak yang masing-masing diambil dari setiap populasi.

•      Untuk menguji ini dilakukan dengan menggunakan uji Bartlett

Kita misalkan masing-masing sampel berukuran n₁, n₂, n₃, ..., n_k dengan data  Y_ij (i = 1,2,3,....,k dan j = 1,2,3,..., n_k ) dan hasil pengamatannya telah disusun dalam daftar:

	Dari populasi ke
Data hasil pengamatan	1	2	....	K
	Y11	Y21	....	Yk1
	Y12	Y22	....	Yk2
	....	....	....	....
	Y1n1	Y2n2	....	yknk

Sampel ke	Dk	1/dk	Si2	Log Si2	Dk log Si2
1	n1 – 1	1/(n1 – 1)	S12	Log S12	(n1 – 1) Log S12
2	n2- 1	1/(n2– 1)	S22	Log S22	(n1 – 1) Log S22
...	...	...	...	...	...
...	...	...	...	...	...
K	nk- 1	1/(nk– 1)	Sk2	Log Sk2	(n1 – 1) Log Sk2
Jumlah	Σ(ni- 1)	Σ(1/(ni– 1))	--	--	Σ((n1 – 1) Log Sk2)

•      Selanjutnya dari sampel-sampel itu kita hitung variansnya masing-masing ialah:

•      Untuk mempermudah penghitungan, satuan-satuan yang diperlukan untuk uji bartlett lebih baik disusun dalam sebuah daftar.

•      Dari daftar di depan dapat dihitung:

–     Varians gabungan dari semua sampel

–     Harga satuan B dengan rumus:

–     Untuk uji bartlett digunakan statistik chi kuadrat

–     Dengan taraf nyata α, kita tolak hipotesis H₀ jika:

–     Untuk mengoreksi, digunakan faktor koreksi K

–     Dengan faktor koreksi statistik yang dipakai sekarang adalah

–     Dengan χ² di ruas kanan. Dalam hal ini hipotesis ditolak jika:

CONTOH

Berikut merupakan daptar pertambahan berat sapi di wilayah kintamani karena adanya empat macam bentuk makanan.

Pertambahan Berat Sapi Setelah dilakukan Percobaan

	Pertambahan berat badan sapi untuk makanan ke
Data hasil pengamatan	1	2	3	4
	12	14	6	9
	20	15	16	14
	23	10	16	18
	10	19	20	19
	17	22

Dengan menggunakan rumus, varian diperoleh adalah

S₁² = 29,3 ; S₂² = 21,5 ; S₃² = 35,7 ; S₄² = 20,7

Data akan menjadi

Sampel ke	Dk	1/dk	Si2	log Si2	dk log Si2
1	4	0,25	29,3	1,4669	5,8676
2	4	0,25	21,5	1,3324	5,3296
3	3	0,33	35,7	1,5527	4,6581
4	3	0,33	20,7	1,3160	3,9480
Jumlah	14	1, 16	-	-	19,8033

Varian gabungan Dari sampel tersebut adalah

S²=26,6

Sehingga log S² = log 26,6 =1,4246 dan B = (1,4246)(14) = 19,9486

Sehingga nilai

χ² = (ln 10) {B - Σ (ni – 1) log S_k²}

χ² = (2,3026)(19,9486-19,8033) = 0,063

Jika nilai α = 0,05, dari daftar distribusi chi square dengan dk = 3 didapat χ²_0,95(3) = 7,81. Ternyata bahwa χ² = 0,063 < 7,81 sehingga hipotesis Ho : diterima dalam taraf nyata 0,05

Jika harga χ²  yang di hitung diatas nilai daftar, maka digunakan faktor korelasi K

Dengan faktor koreksi ini, statistik chi square yang dipakai sekarang adalah

 χ² _K = (1/K) χ²

Hipotesis Ho ditolak jika χ² _K ≥ χ² _(1-α)(k-1)

CONTOH

No	Nilai SMA N 1 Tegallalang	Nilai SMA N 1 Ubud	Nilai SMA N 1 Gianyar
1	72	88	70
2	74	78	77
3	75	99	72
4	83	87	66
5	73	89	73
6	75	67	76
7	83	65	75
8	78	88	88
9	81	48	73
10	74	77	74
11	76	66	73
12	72	89	83
13	83	83	71
14	76	78	81
15	68	88	68
16	73	77	73
17	75	83	81
18	66	90	89
19	85	68	86
20	75	77	76
21	88	82	71
22	88	71	88
23	89	66	71
24	87	73	81
25	81	88	77
26	89	89	79
27	81	76	82
28	83	70	88
29	81	72	75
30	89	81	82
31	71	87	82
32	73	86	78
33	75	67	81
34	83	75	74
35	78	87	78
36	81	77	85
37	74	90	77
38	78	78	86
39	85	66	79
40	78	81	82
41	83	89	72
42	88	92	83
43	88	91	76
44	88	67	68
45	89	77	72
46	87	78	76
47	81	85	66
48	89	66	85
49	81	58	75
50	89	56	77
51	78	54	66
52	80	88	77
53	84	63	71
54	83	61	90
55	78	72	72
56	86	66	94
57	87	76	67
58	83	89	89
59	90	62	78
60	82	81	78
varians	37.15564972	123.6937853	44.8279661

Smpel yang digunakan adalah no 1 - 50

Harga-harga yang diperlukan untuk uji bartlett

 

sampel	dk= (ni-1)	1/dk	si2	log si2	(dk) log si2
Tegallalang	49	0,020408	37.15564972	1,570024	76,9311
Ubud	49	0,020408	123.6937853	2,092345	102,5249
Gianyar	49	0,020408	44.8279661	1,651549	80,92590
jumlah	147	0,061224	--	--	269,3819

Ø          Varians gabungan dari ketiga sampel tersebut

 

Ø          Sehingga log s² = log = 1,8360

Ø          Nilai B:

 

Ø          Nilai χ² hitung :

 

Ø          Jika α = 0,05 dan dari daftar distribusi chi kuadrat dengan dk = 2 di dapat:

 

Ø          Ternyata > 5,99 sehingga hipotesis                                 diterima dalam taraf nyata 0,05.

KESIMPULAN.

Dari analisis data yang dilakukan baik secara manual didapatkan bahwa varians data nilai SNMPTN matematika dasar antara ketiga SMA tersebut adalah sama atu homogen.